Bonjour,
1. Conjecturer
a) calculer:
1×2×3×4+1 = 24 + 1 = 25 = 5^2
2×3×4×5+1 = 120 + 1 = 121 = 11^2
3×4×5×6+1 = 360 + 1 = 361 = 19^2
b)Mélanie conjecture que, pour chaque calcul, le résultat est le carré d'un nombre premier.
Que peut on en penser?
Quelle a raison
2. Une preuve
n désigne un nombre entier
p = n(n+1)(n+2)(n+3)
a)Vérifier que (n+1)(n+2) = n(n+3)+2
(n + 1)(n + 2) = n(n + 3) + 2
(n + 1)(n + 2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2
n(n + 3) + 2 = n^2 + 3n + 2
Vérifié !
b) On pose a = (n+1)(n+2)
Expliquer pourquoi P = a(a-2)
P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
P = a * n(n + 3)
Comme a = (n + 1)(n + 2) et que :
(n + 1)(n + 2) = n(n + 3) + 2 alors :
a = n(n + 3) + 2
Et donc :
n(n + 3) = a - 2
P = a(a - 2)
c) En déduire que p+1 = (a-1) au carré
P = a(a - 2)
P + 1 = a(a - 2) + 1
P + 1 = a^2 - 2a + 1
P + 1 = a^2 - 2 * a * 1 + 1^2
P + 1 = (a - 1)^2
d) Peut on affirmer que le résultat est le carré d'un nombre premier? Justifier.
non on peut affirmer seulement que le résultat est le carré d’un nombre
P = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
n : premier nombre
n + 1 : le suivant
n + 2 : celui d’apres
n + 3 : celui encore d’après
P + 1 = (a - 1)^2
Dans la partie 1) on a trouvé 25 = 5^2 et 5 est premier
121 = 11^2 et 11 est premier
361 = 19^2 et 19 est premier
par contre, si n = 6 => 6 x 7 x 8 x 9 + 1 = 3024 + 1 = 3025 = 55^2 et 55 n’est pas premier donc non
