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résolu

Bonjour tout le monde, j'ai un DM de maths mais j'arrive pas
Maurice dispose de 20 m de grillage avec lequel il veut délimiter une parcelle de pré de forme rectangulaire le long d'une rivière, comme ses bêtes n'iront pas traverser la rivière, il ne mettra pas de grillage le long de la rivière (cf figure) , Maurice voudrait connaître les dimensions de ce rectangle pour que la surface du rectangle ainsi délimité soit la plus grande possible.
On note x la langueur (en mètres) du côté de rectangle perpendiculaire à la rivière, et y pour l'autre.
1) prouver que l'aire A(x) de la parcelle en fonction de x vérifie : A(x)=2x(10-x)
2) tracer la courbe de la fonction A sur votre calculatrice
3) quelle semble alors être la réponse attendue pour le problème de Maurice ?
4) prouver que pour tout x , on a la formule : A(x)=-2(x-5)²+50
5) en déduire que pour tout x , on a : A(x)\< A(5) (A(x) plus grand ou égal A(5))
6) conclure le problème et faire une figure

Répondre :

TRUDELMICHELVIZ
bonjour
le périmetre du grillage fera donc
x+y+x
soit
2x+y
d'où
2x+y=20
d'où
y=20-2x

l'aire fera donc
Lxl
soit
A=x(20-2x)
A= 20x-2x²
A=2x(10-x)
d'où
A=20x-2x²

je vous laisse faire le graphique
A est un polynome du second degré
ax²+bx+c
A=-2x²+20x
a<0
A admet un maximun
(α,β)
α=-b/2a
α=-20/-2(2)
α=-20/-4
α=5
β=A(α)
β=-2(5²)+20(5)  β=-50+100 β=50
d'où
A peut s'écrire
a(x-α)²+β
A=-2(x-5)²+50

d'où max A( x)=A(5)
d'où
A(x)≤A(5)

d'où il faut que le cote perpendiculaire à la riviére soit égal à5

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