Z ' = Z² - 4Z = Z(Z - 4)
1°) Za = 1 - i donne Za ' = (1-i)(1-i-4) = (1-i)(-3-i) = -3-i+3i-1 = -4 + 2i
Zb = 3 + i donne Zb ' = (3+i)(3+i-4) = (3+i)(i-1) = 3i-3-1-i = -4 + 2i aussi !
2°) résolvons : Z² - 4 Z + 8 = 0 Discriminant = 4² - 4 * 8 = 16 - 32 = - 16
= (4i)²
d' où les solutions Zc = 2 - 2i ET Zd = 2 + 2i
3a) (Z - 2)² = Z² - 4Z + 4 = Z ' + 4
3b) Z ' + 4 = (Z - 2)² avec Zj = 2 donne Zj ' + 4 = 0 d' où Zj ' = - 4 = Zk
conclusion : le Cercle image a bien pour centre K d' affixe Zk = -4
Cherchons des points du Cercle de départ ( de centre J ) :
(Zm - Zj)² = rayon² donne (a + ib - 2)² = 4
a² - b² + 4 + 2abi - 4a - 4ib = 4
a² - b² + 2abi - 4a - 4ib = 0
( a² - b² - 4a ) + 2ib ( a - 2 ) = 0
donc a = 2 OU b = 0
b = 2i a = 4
conclusion : on vient de trouver 2 points ( F et G ) du Cercle de départ
Zf = 2 + 2i ; Zg = 4
Cherchons les images des points F et G :
Zf ' + 4 = (2+2i-2)² = (2i)² = -4 donc Zf ' = -8
Zg ' + 4 = (4-2)² = 2² = 4 donc Zg ' = 0
conclusion : le Cercle image a pour centre K, milieu de [ F'G' ],
d' où le Rayon du Cercle image = 4
3c) Ze = 2 + 2 cos45° + 2i sin45° = 2 + racine(2) + i rac(2)
donc Ze - Zj = rac2 + i rac2
d' où angle(u;JE) = 45° car tan â = rac2 / rac2 = 1 donne â = 45°
3d) Ze ' + 4 = ( 2 + rac2 + i rac2 - 2 )² = ( rac2 + i rac2 )² = 2 +4i - 2 = 4i
donc Ze ' = 4i - 4
donc Ze ' - Zk = 4i - 4 + 4 = 4i
d' où angle(u;KE') = 90°
