Bonsoir ;
Première méthode .
1)
∀ x ∈ IR ; on a :
f(x) - 1/3 = 2x/(x² + 9) - 1/3 = (6x - x² - 9)/(3(x² + 9))
= - (1/3) ((x² - 6x + 9)/(x² + 9)) = - (1/3)((x - 3)²/(x² + 9)) ≤ 0 ;
donc : ∀ x ∈ |R , f(x) ≤ 1/3 ;
donc : ∀ x ∈ [0 ; + ∞ [ , f(x) ≤ 1/3 .
2)
∀ x ∈ [5 ; + ∞ [ , f ' (x) < 0 ;
donc : ∀ x ∈ [5 ; + ∞ [ , f(x) ≤ f(5) = 10/34 = 5/17 < 0,3 .
Deuxième méthode .
On a : f ' (x) = 0 si : (3 + x)(3 - x) = 0 ;
donc si : 3 + x = 0 ou 3 - x = 0 ;
donc si : x = - 3 ou x = 3 .
de plus , on a : f ' (x) est du signe de : -2x² + 18 .
Le tableau de variation de f est comme dans le fichier ci-joint .
On voit que : ∀ x ∈ [0 ; + ∞ [ , 0 ≤ f(x) ≤ 1/3 .
On voit aussi que f est décroissante sur [3 ; + ∞ [ ;
donc : ∀ x ∈ [5 ; + ∞ [ , f(x) ≤ f(5) = 10/34 = 5/17 < 0,3 .
