Bonjour,
1)
cos(2x) = 1 - 2sin²(x)
Donc l'équation devient : 1 - 2sin²(x) + 2sin(x)cos(x) ≥ 1
⇔ 2sin(x)[cos(x) - 1] ≥ 0
⇒ sin(x) ≥ 0 et cos(x) ≥ 1
ou
sin(x) ≤ 0 et cos(x) ≤ 1
⇔ cos(x) = 1 et sin(x) ≥ 0 soit x = k2π
ou x ∈ [π;2π] privé de 3π/2
2) 4sin²(x) -2(1 + √3)sin(x) + √3 ≤ 0
On pose X = sin(x)
4X² - 2(1 + √3)X + √3 ≤ 0
Δ = 4(1 + √3)² - 4x4x√3 = 4(4 + 2√3) - 16√3 = 16 - 8√3
2 racines : X₁ = [2(1 + √3) - √(16 - 8√3)]/8 = [2 + 2√3 - 4√(1 - √3/2)]/8 = [1 + √3 - 2√(1 - √3/2)]/4
= c'est moche...donc il doit y avoir une ruse...
4sin²(x) - 2(1 + √3)sin(x) + √3 ≤ 0
⇔ [2sin(x) - (1 + √3)/2]² - (1 + √3)²/4 + √3 ≤ 0
⇔ [........ ]² - (4 + 2√3)/4 + 4√3/4 ≤ 0
⇔ [....... ]² ≤ (4 - 2√3)/4
= pas vraiment mieux...
Autre chose :
1 + √3 = 1 + 2sin(π/3) et √3 = 2sin(π/3)
4sin²(x) - 2(1 + 2sin(π/3))sin(x) + 2sin(π/3) ≤ 0
⇔ 4sin²(x) - 2sin(x) - 4sin(π/3)sin(x) + 2sin(π/3) ≤ 0
⇔ 2sin(x)[2sin(x) - 1] + 2sin(π/3)[1 - 2sin(x)] ≤ 0
⇔ 2(2sin(x) - 1)(sin(x) - sin(π/3)) ≤ 0
⇒ sin(x) ≤ 1/2 et sin(x) ≤ sin(π/3)
OU sin(x) ≥ 1/2 et sin(x) ≥ sin(π/3)
soit : x ∈ [-π ; π/6] modulo 2π
OU x ∈ [π/3 ; 2π/3]
