Bonjour,
1) a)
f₃ = 440 Hz
L'énoncé indique que lorsqu'on multiplie la fréquence d'une note par 2, on obtient la même note à l'octave supérieur.
Donc fn+1 = 2 x fn
⇒ (fn) est une suite géométrique de raison q = 2
On en déduit : fn = f₃ x 2⁽ⁿ⁻³⁾ = 440 x 2ⁿ⁻³
b) 440 x 2ⁿ⁻³ > 20000
⇔ 2ⁿ⁻³ > 20000/440
⇒ ln(2ⁿ⁻³) > ln(500/11)
⇒ (n - 3)ln(2) > ln(500/11)
⇔ n > ln(500/11)/ln(2) + 3
Soit n > 8,5
Donc le numéro de l'octave le plus aigu audible est n = 8
2) a)
q¹² = 2
⇒ log(q¹²) = log(2)
⇔ 12log(q) = log(2)
⇔ log(q) = log(2)/12
b) Entre un do et un mi d'un même octave, il y a 4 demi-tons.
Donc F₁ = q⁴ x F₂ ⇒ F₁/F₂ = q⁴
et 1000 x log(F₁/F₂) = 1000 x log(q⁴)
= 4000 x log(q)
= 4000 x log(2)/12
= 1000 x log(2)/3
≈ 100
