Bonsoir,
Exercice 3 :
Soit N = 1*2*3*...*20*21
a) N+2 = 1*2*3*...*21+2 = 2(1*3*4*...*21+1), or 1*3*4*...*21+1∈ℤ, donc N+2 est divisible par 2
N+3 = 1*2*3*...*21+3 = 3(1*2*4*...*21+1), or 1*2*4*...*21+1∈ℤ, donc N+3 est divisible par 3
b) Soit p∈⟦2;21⟧
Il est évident que p ≡ 0 [p]
Or, ∀k∈ℤ, k*p ≡ k*0 [p], d'où k*p ≡ k*0 [p]
De plus, comme p∈⟦2;21⟧, alors N/p∈ℤ
Donc N ≡ 0 [p]
Or, ∀a∈ℤ, N+a ≡ 0+a [p]
D'où N+p ≡ 0+p [p], or p ≡ 0 [p], d'où N+p ≡ 0+0 [p], donc N+p ≡ 0 [p], donc N+p est divisible par p.
c) Donc, pour k allant de 2 à 21, les N+k sont 20 entiers naturels consécutifs et non premiers, car chacun d'eux admet k comme diviseur positif autre que 1 et N+k
Exercice 4 :
a) Deux entiers consécutifs quelconques sont forcément de la forme 2k et 2k+1, ou alors de la forme 2k et 2k-1, avec k∈ℤ, car cela implique forcément un entier pair avec, soit l'entier précédent, soit l'entier suivant.
On a 2k(2k+1) = 2(k²+k) et 2k(2k-1) = 2(k²-k), or k²+k∈ℤ et k²-k∈ℤ, donc le produit de deux entiers consécutifs est divisible par 2
b) Soit n un entier naturel impair.
1er cas : n ≡ 1 [8], d'où n² ≡ 1² ≡ 1 [8], d'où n-1 ≡ 1-1 ≡ 0 [8]
2e cas : n ≡ 3 [8], d'où n² ≡ 3² ≡ 9 ≡ 1 [8], d'où n-1 ≡ 1-1 ≡ 0 [8]
3e cas : n ≡ 5 [8], d'où n² ≡ 5² ≡ 25 ≡ 1 [8], d'où n-1 ≡ 1-1 ≡ 0 [8]
4e et dernier cas : n ≡ 7 [8], d'où n² ≡ 7² ≡ 49 ≡ 1 [8], d'où n-1 ≡ 1-1 ≡ 0 [8]
Donc si on retranche 1 au carré d'un entier naturel impair, on obtient toujours un entier divisible par 8
J'en ai fait suffisamment.
