Bonsoir Blackhorns,
Exercice 1 :
1) a. Développer, réduire et ordonner E(x) :
E(x) = (3x - 4)² - (2x - 5)²
nous avons ici affaire à 2 identités remarquables de la forme
(a - b)² = a² - 2ab + b²
E(x) = 9x² - 24x + 16 - (4x² - 20x + 25)
E(x) = 9x² - 24x + 16 - 4x² + 20x - 25
E(x) = 5x² - 4x - 9
1) b. Factoriser E(x) :
nous allons utiliser une seconde identité remarquable de la forme
(a - b)(a + b) = a² - b²
E(x) = (3x - 4)² - (2x - 5)²
E(x) = (3x - 4 - (2x - 5))(3x - 4) + (2x - 5))
E(x) = (3x - 4 - 2x + 5)(3x - 4 + 2x - 5)
E(x) = (x + 1)(5x - 9)
2) Résoudre les équations suivantes :
a. E(x) = 0
Nous allons utiliser la forme factoriser car nous avons un produit de deux facteurs.
(x + 1)(5x - 9) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
x + 1 = 0 ou 5x - 9 = 0
x = - 1 ou 5x = 9
ou x = 9/5
S = {- 1 ; 9/5}
b. E(x) = - 9
Cette fois-ci nous allons utiliser la forme développée.
5x² - 4x - 9 = - 9
5x² - 4x - 9 + 9 = 0
5x² - 4x = 0
x(5x - 4) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
x = 0 ou 5x - 4 = 0
ou 5x = 4
ou x = 4/5
S = {0 ; 4/5}
c. E(x) = (2x - 5)(x + 1)
Utilisons à nouveau la forme factorisée.
(x + 1)(5x - 9) = (2x - 5)(x + 1)
(x + 1)(5x - 9) - (2x - 5)(x + 1) = 0
(x + 1)(5x - 9 - 2x + 5) = 0
(x + 1)(3x - 4) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
x + 1 = 0 ou 3x - 4 = 0
x = - 1 ou 3x = 4
ou x = 4/3
S = {- 1 ; 4/3}
Exercice 2 :
1) Résoudre dans IR : (9x² - 12x + 4)(x + 3) = 0
Nous allons factoriser le premier terme qui est une identité remarquable.
(9x² - 12x + 4)(x + 3) = 0
((3x)² - 2 * 3x * 2 + 2²)(x + 3) = 0
(3x - 2)²(x + 3) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un facteur est nul.
3x - 2 = 0 ou x + 3 = 0
3x = 2 ou x = - 3
x = 2/3
S = {- 3 ; 2/3}
2) a. Développer et réduire (3 - x)(4x + 1)(3x + 2) :
(3 - x)(4x + 1)(3x + 2)
= (3 - x)(12x² + 8x + 3x + 2)
= 36x² + 24x + 9x + 6 - 12x³ - 8x² - 3x² - 2x
= - 12x³ + 25x² + 31x + 6
b. En déduire les solutions dans IR :
- 12x³ + 25x² + 31x + 6 = 0
(3 - x)(4x + 1)(3x + 2) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
3 - x = 0 ou 4x + 1 = 0 ou 3x + 2 = 0
x = 3 ou 4x = - 1 ou 3x = - 2
ou x = - 1/4 ou x = - 2/3
S = {- 2/3 ; - 1/4 ; 3}
