Bonjour Taslima,
L’unité de longueur est le centimètre. x désigne un nombre strictement supérieur à 2. ABCD est un carré et ABEF est un rectangle.
1] a) Exprimer en fonction de x l’aire du carré ABCD.
Aire carré = côté x côté
Aire ABCD = (2x + 1)(2x + 1
Aire ABCD = (2x + 1)² (identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b²)
Aire ABCD = 4x² + 4x + 1
b) Exprimer en fonction de x l’aire du rectangle ABEF.
Aire rectangle = longueur x largeur
Aire ABEF = (2x + 1)(x + 3)
Aire ABEF = 2x² + 6x + x + 3
Aire ABEF = 2x² + 7x + 3
c) En déduire l’aire du rectangle FECD en fonction de x.
Aire FECD = Aire ABCD - Aire ABEF
Aire FECD = 4x² + 4x + 1 - (2x² + 7x + 3)
Aire FECD = 4x² + 4x + 1 - 2x² - 7x - 3
Aire FECD = 2x² - 3x - 2
2) a) Exprimer la longueur FD en fonction de x.
FD = AD - AF
FD = (2x + 1) - (x + 3)
FD = 2x + 1 - x - 3
FD = x - 2
b) En déduire l’aire du rectangle FECD en fonction de x.
Aire rectangle = longueur x largeur
Aire FECD = (2x + 1)(x - 2)
Aire FECD = 2x² - 4x + x - 2
Aire FECD = 2x² - 3x - 2
3) Justifier que les deux expression trouvées pour l'air du rectangle FECD sont égales.
Les deux expressions sont égales car la différence de l'aire de ABCD et de celle de ABEF est égale à l'aire de FECD.
Aire FECD + Aire ABEF = Aire ABCD
4) L'aire du rectangle FECD peut'elle être égale à 0?
Aire FECD = 2x² - 3x - 2
Aire FECD = 0
<=> 2x² - 3x - 2 = 0
<=> (2x + 1)(x - 2) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
2x + 1 = 0 ou x - 2 = 0
2x = - 1 ou x = 2
x = - 1/2 ou
S = {- 1/2 ; 2}
Pour x = - 1/2 et x = 2, l'aire FECD peut être nulle.
Vérifications.
Pour x = - 1/2 :
(2x + 1)(x - 2)
<=> (2 x (- 1/2) + 1)(- 1/2 - 2)
= (- 1 + 1) x (- 5/2)
= 0 x (- 5/2)
= 0
Pour x = 2
(2x + 1)(x - 2)
<=> (2 + 1)(2 - 2)
= 3 x 0
= 0
Cependant, x > 2.
Alors l'aire ne peut jamais être égale à 0.
