Bonsoir,
1)a) On sait que le salaire de Victor augmente de 2% chaque année à partir de 2011 donc:
U(1)=U(0)+0.02U(0)=1.02U(0)=1.02×1100=1122 €
U(2)=U(1)+1.02U(1)=1.02U(1)=1.02×1122=1144.44 €
b) On note U(n) le salaire à l'année 2010+n et U(n+1) celui de l'année suivante. On sait aussi qu'il y a l'augmentation de 2% donc:
U(n+1)=U(n)+0.02U(n)
U(n+1)=U(n)(1+0.02)
U(n+1)=1.02U(n)
On continue le calcul alors:
U(n+1)=1.02U(n)
U(n+1)/U(n)=1.02
On en déduis alors que U est une suite géométrique de raison 1.02
c) Comme U est une suite géométrique alors elle est de la forme:
U(n)=U(0)×q^n
comme on U(0)=1100 et q=1.02 donc:
U(n)=1100×1.02^n
3)a) On sait que le salaire augmente de 50 € chaque année à partir de 2011 donc:
V(1)=V(0)+50=1200+50=1250 €
V(2)=V(1)+50=1250+50=1300 €
b) On sait que chaque année le salaire à l'année 201+n augmente de 50 € donc on peut écrire:
V(n+1)=V(n)+50
Si on continue alors on aura:
V(n+1)=V(n)+50
V(n+1)-V(n)=50
On en déduis alors que la suite V est une suite arithmétique de raison 50.
c) Comme V est arithmétique alors elle est de la forme:
V(n)=V(0)+nr
avec V(0)=1200 et r=50 donc
V(n)=1200+50n
3) Dans cette question, on cherche n tel que:
1100×1.02^n>1200+50n (Très difficile à résoudre !)
J'ai procédé par traitement informatique et on trouve que le salaire de Victor sera supérieur à celui de Sandra au bout de 77 ans soit l'année 2087 !
