Bonsoir,
Soient k∈ℤ et x∈ℝ
1er cas : k est pair, d'où k est de la forme 2p, p∈ℤ
D'où tan(x+kπ) = tan(x+2pπ) = tan(x+p*2π)
Or on sait que la fonction tangente est 2π-périodique
D'où tan(x+p*2π) = tan(x)
Donc tan(x+kπ) = tan(x)
2e cas : k est impair, d'où k est de la forme 2p+1, p∈ℤ
D'où tan(x+kπ) = tan(x+(2p+1)π) = tan(x+p*2π+π)
Or on sait que la fonction tangente est 2π-périodique
D'où tan(x+p*2π+π) = tan(x+π) = (sin(x+π))/(cos(x+π))
Or on sait que sin(x+π) = -sin(x), et que cos(x+π) = -cos(x)
D'où (sin(x+π))/(cos(x+π)) = (-sin(x))/(-cos(x)) = (sin(x))/(cos(x)) = tan(x)
Donc tan(x+kπ) = tan(x)
Donc ∀x∈ℝ, ∀k∈ℤ, tan(x+kπ) = tan(x)
