Bonjour ;
1)
On a :
AI = AB/2 = 6/2 = 3 cm .
M ne peut se mouvoir que sur le segment [AI] , donc on a:
AA ≤ AM ≤ AI ;
donc : 0 ≤ x ≤ 3 .
2)
MN = AB - AM - NB = 6 - x - x = 6 - 2x .
3)
Le triangle AIC est rectangle en I ;
donc en appliquant le théorème de Pythagore , on a :
CI² = AC² - AI² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16 = 4² cm² ;
donc : CI = 4 cm .
4)
Les droites (MP) et (CI) sont perpendiculaires à la droite (MI) ;
donc elles sont parallèles .
Les droites (PC) et (MI) se coupent au point A .
En appliquant le théorèmes de Thalès , on a :
MP/CI = AM/AI ;
donc : MP/4 = x/3 ;
donc : MP = 4/3 x .
5)
L'aire de MNPQ est : MN * MP ;
donc : f(x) = (4/3)x(6 - 2x) = 8x - 8/3 x² .
6)
f(3/2) = 8 * (3/2) - (8/3) * (9/4) = 12 - 6 = 6 .
7)
f(x) - f(3/2) = - (8/3) x² + 8x - 6 = - (8/3)(x² - 3x +(9/4))
= - (8/3)(x² - 2 * (3/2) * x + (3/2)²)
= - (8/3)(x - 3/2)² .
8)
On a : pour tout x de [0 ; 3] , (x - 3/2)² ≥ 0 ;
donc : (8/3)(x - 3/2)² ≥ 0 ;
donc : - (8/3)(x - 3/2)² ≤ 0 ;
9)
On a pour tout x de [0 ; 3] :
f(x) - f(3/2) = - (8/3)(x - 3/2)² ≤ 0 ;
donc : f(x) ≤ f(3/2) ;
donc : f(3/2) = 6 est le maximum de f sur [0 ; 3] .
10)
Pour x = 3/2 ;
f(3/2) = 6 cm² : l'aire maximale de MNPQ ,
dont les dimensions sont : MP = 4/3 * 3/2 = 2 cm
et MN = 6 - 2x = 6 - 2 * 3/2 = 6 - 3 = 3 cm .
