Bonjour,
∀(n,x)∈ℕ*×ℝ, on pose S(x) = 1+x+x²+...+xⁿ
1.a. ∀(n,x)∈ℕ*×ℝ, (x-1)S(x) = (x-1)(1+x+x²+...+xⁿ) = x+x²+x³+...+xⁿ+xⁿ⁺¹-1-x-x²-...-xⁿ = x-x+x²-x²+x³-x³+...+xⁿ-xⁿ+xⁿ⁺¹-1 = xⁿ⁺¹-1
D'où ∀(n,x)∈ℕ*×ℝ\{1}, (x-1)S(x) = xⁿ⁺¹-1 ⇒ (x-1)S(x)/(x-1) = xⁿ⁺¹-1/(x-1)
Or (x-1)/(x-1) = 1, d'où 1*S(x) = xⁿ⁺¹-1/(x-1) ⇒ S(x) = xⁿ⁺¹-1/(x-1)
2. S est dérivable sur ℝ\{1}
Première forme de S'(x) :
[tex]S'(x)=(1+\sum \limits_{{k=1}}^n x^k)'=\sum \limits_{{k=1}}^n kx^{k-1}[/tex] par dérivée de somme.
Seconde forme de S'(x) :
[tex]S'(x)=(\frac{x^{n+1}-1}{x-1})'=\frac{(x^{n+1}-1)'(x-1)-(x^{n+1}-1)(x-1)'}{(x-1)^2}[/tex][tex]=\frac{(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}=\frac{(n+1)x^{n+1}-(n+1)x^n-x^{n+1}+1}{(x-1)^2}[/tex][tex]=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}[/tex]
On en déduit alors, par analogie avec la première forme de S'(x), que [tex]\sum \limits_{{k=1}}^{20} k2^{k-1}=S'(2)[/tex] pour n = 20
Or la première et la seconde forme de S'(x) sont évidemment égales.
Donc [tex]\sum \limits_{{k=1}}^{20} k2^{k-1}=\frac{20*2^{20+1}-(20+1)*2^{20}+1}{(2-1)^2}=20*2^{21}-21*2^{20}+1=19922945[/tex]
