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résolu

Salut je suis en classe de 2nde S
A l'approche de pâque, un artisan chocolatier décide de confectionner des œufs en chocolat. En allant inspecter sa réserve, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8kg de noisette, 14kg de lait. Il y'a 2 spécialités d'œufs, l'œuf extra et l'œuf sublime. Un oeuf extra nécessite 1kg de cacao,1kg de noisette, 1kg de lait et l'œuf sublime 3kg de cacao, 1kg de noisette et 1kg de lait.
Il fera un profit de 20€ en vendant l'œuf extra et un profit de 30€ en vendant l'œuf sublime.
On désigne par x le nombre d'œufs extra et y le nombre d'œufs sublime.
1 )Exprimer en fonction de x et y les contraintes
2 )Déterminer graphiquement l'ensemble des points M(x;y) du plan dont les coordonnées satisfont les contraintes.
3 )Exprimer en fonction de x et y le profit de l'artisan.
3 )Combien d'œufs extra et sublime doit-il fabriquer pour le plus grand bénéfice possible.
Veuillez m'aider s.v.p

Répondre :

1) tableau des contraintes :
types          | quantité  | cacao  | noisette | lait    | profit |
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extra                  x            x             x           x       20x
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sublime              y           3y            y          y        30y
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contrainte      entier      <18         <8        <14     max
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2) système des contraintes :
{x+3y≤18
{x+y≤8
{x+y≤14
droites correspondantes :
(d1) : y=-x/3+6     (d2) : y=-x+8    (d3) : y= -x+14
Solutions du système : ensemble des points intérieurs au polygone OABC
avec O(0;0)-A(0;8)-B(3;5)-C(8;0)

3) a) Profit de l'artisan :
B(x,y)=20x+30y

b) le profit est maximal lorsque la droite(d) de pente -2/3 rencontre le polygone OABC
on lit graphiquement la solution optimale : C(3;5)
soit 3 oeufs extra et 5 oeufs sublimes
la profit max est donc B(max)=20*3+30*5=210 €
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