Bonjour, finalement, la fenêtre de réponse est encore ouverte.
1)a) On va commencer par travailler sur le 1er terme de la n_ième ligne.
Tu remarques que le 1er terme de la ligne est égale au numéro de la ligne par celui-ci baisser de 1 plus 1 ce qui fait:
n(n-1)+1=n²-n+1 avec n∈N
Pour le dernier terme, tu remarques que dans une ligne, il y toujours un écart de 2 entre 2 termes consécutifs. On en déduis alors que:
dernier terme=premier terme+(n-1)×(écart entre 2 termes consécutifs)
On en déduis alors:
n(n-1)+1+2(n-1)
=n²-n+1+2n-2
=n²+n-1 avec n∈N
b) On appelle S(n) la somme des terme de la dernière ligne donc:
S(n)=[n(n-1)+1]+[n(n-1)+1+2]+...+[n(n-1)+1+2(n-1)-2]+[n(n-1)+1+2n-2]
S(n)=n[n(n-1)+1)+(0+2+...+2n-4+2n-2)
S(n)=n[n(n-1)+1]+(0+2+...+(2n-4)+(2n-2)+2n-2n)
Comme on a:
0+2+4+...+2n-4+2n-2+2n=2(0+1+2+...+(n-2)+(n-1)+n)
comme la somme des entiers naturels est n(n+1)/2 donc:
0+2+--+2(n-2)+2(n-1)+2n=2×n(n+1)/2 donc:
S(n)=n[n(n-1)+1]+2n(n+1)/2-2n
S(n)=n(n²-n+1)+n(n+1)-2n
S(n)=n(n²-n+1)+n²+n-2n
S(n)=n³-n²+n+n²+n-2n
S(n)=n³
2) Si la somme des termes de la n_ième ligne est n³ alors on peut déduire que la somme des autres lignes est le numéro de la ligne au cube. Si on nomme C(n) cette somme alors on écrira que:
C(n)=1+2³+3³+...+(n-1)³+n³
On va alors montrer que C(n)=n²(n+1)²/4 par récurrence:
On va vérifier au rang n=1
1³=1
1²(1+1)²/2=1 donc vraie au rang n=1
On suppose que la relation est vraie au rang n donc:
1³+2³+3³+...+n³=n²(n+1)²/4
On va alors vérifier au rang n+1:
1³+2³+3³+...+n³+(n+1)³
=n²(n+1)²/4+(n+1)³
=(n+1)²[n²/4+n+1]
=(1/4)(n+1)²(n²+4n+4)
=(1/4)(n+1)²(n+2)²-----> CQFD
On en déduis alors:
1³+2³+3³+...+n³=n²(n+1)²/4
1³+2³+3³+...+n³=(n(n+1)/2)²
1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+....+n)²
On en déduis alors:
1³+2³+..+n³=(1+2+3+...+n)²=n²(n+1)²/4
