1) AB=AC=13 et on suppose que BC=10
AI²=13²-5²=144 donc AI=12
donc AG=2/3*AI=8 cm
th de la médiane : BC²+AB²=2BJ²+AC²/2
donc 2BJ²=10²+13²-13²/2
donc 2BJ²=184,5 donc BJ²=92,25
donc BJ=3/2.√41
donc BG=CG=2/3.3/2.√41=√41 cm
2) on se place en vecteurs :
MA²+MB²+MC²=(MG+GA)²+(MG+GB)²+(MG+GC)²
=MG²+2GA.MG+GA²+MG²+2GB.MG+GB²+MG²+2.GC.MG+GC²
=3MG²+2MG.(GA+GB+GC)+GA²+GB²+GC²
=3MG²+GA²+GB²+GC²
(car GA+GB+GC=0 en tant qu'isobarycentre de ABC)
3) MA²+MB²+MC²=194
donc 3MG²+GA²+GB²+GC²=194
donc 3MG²=194-64-41-41=48
donc MG²=16
donc MG=4
donc M appartient au cercle de centre G et de rayon 4 cm
4) 2MA²-MB²-MC²=0
2(MG+GA)²-(MG+GB)²-(MG+GC)²=0
2(MG²+MG.GA+GA²)-(MG²+2MG.GB+GB²)-(MG²+2MG.GC+GC²)=0
MG.(2GA-GB-GC)+2GA²-GB²-GC²=0
MG.(GA+GA-GB-GC)=-2GA²+GB²+GC²
MG.(BG+GA+CG+GA)=-46
MG.(BA+CA)=-46
MG.(AB+AC)=46
MG.(2AI)=46
MG.AI=23
soit H le pt de la droite (AI) tel que HGxAI=23 soit HG=23/12
alors M appartient à la droite perpendiculaire à (AI) passant par H
