Bonjour,
1) 300 spectateurs à 7 euros la place → 300×7= 2100€
si baisse de 0.1 euro du prix alors hausse de 10 spectateurs
a) pour un prix de 5 euros
donc si baisse de 2 euros (5€ au lieu de 7€ le billet) alors :
2 ÷ 0,1 × 10 = 200 spectateurs en +
On peut en déduire qu'au lieu d'avoir 300 spectateurs à 7 € on aura donc 500 spectateurs pour une séance à 5 euros la place.
b) Calcul de la recette (billet à 7 €) : 7 × 300 = 2 100 €
Calcul de la recette (billet à 5 €) : 5 × 500 = 2500 euros
L'exploitant de la salle fait un bénéfice supplémentaire de 400 € en baissant le prix du billet à 5 €/place.
2) Pour remplir la salle (1000 spectateurs) il faudrait une hausse de 700 spectateurs soit : 700 ÷ 200 = 3,5 baisses
3,5 baisses du prix initial → 3,5 × 2 = 7 euros
On peut en déduire alors que le billet serait gratuit !
3) a) projet du propriétaire de proposer x réductions de 0,1 €, calcul du prix du billet (P)P(x) = 7 - 0,1x
b) Quantité de spectateurs (Q)Q(x) = 300 + 10x Recette totale (R)R(x) = P(x) × Q(x)
Calculs : R(x) = (7 - 0,1x)(300 + 10x)R(x) = 2100 + 70x - 30x - 1x²
R(x) = -x² + 40x + 2100
d) Recette maximale surlignée en jaune (tableau excel, voir ci-joint fichier open office)
Par le calcul : après avoir dressé le tableau de variation de la fonction R en précisant le min et le max, on peut en déduire la valeur de x pour que la recette soit max →
R(x) sera maximale pour x = 20
Le prix de la place sera de 7 - (0,10×20) = 5
Le nombre de spectateurs sera de 500
La recette maximale sera de 2500 euros
