Question 1
Calcul de [tex]U_1[/tex]
[tex]U_1 = U_0(1+2U_0) = -1(1+2*(-1))=-(1-2) = 1[/tex]
Calcul de [tex]U_2[/tex]
[tex]U_2 = U_1(1+2U_1) =1(1+2*1)=3[/tex]
Calcul de [tex]U_3[/tex]
[tex]U_3 = U_2(1+2U_2)=3(1+2*3)=3*7=21[/tex]
Graphiquement, il faut donc placer les points de coordonnées :
(0 ; -1) ; (1 ; 1) ; (2 ; 3) et (3 ; 21)
Conjecture : [tex](U_n)[/tex] est suite croissante.
Démonstration :
[tex]U_{n+1}-U_n = U_n (1+2U_n)-U_n = U_n+2U_n^2-U_n=2U_n^2[/tex]
Or [tex]U_n^2[/tex] est un carré. Donc il est forcément positif.
Donc [tex]2*U_n^2\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc [tex]U_{n+1}-U_n\ \textgreater \ 0[/tex] ⇔ [tex]U_{n+1}\ \textgreater \ U_n[/tex]
La suite [tex](U_n)[/tex] est donc croissante.
Question 2
(remarque : [tex](V_n)[/tex] est la suite des puissances de 2 :
1; 2; 4; 8; 16; 32,etc....
Donc, sans tableur, on sait déjà qu'elle est croissante :-) )
Dans un tableur (comme Excel par exemple ou Open-office Calc)
on place sur une ligne différentes valeurs de n : 0 (dans la cellule B1), 1 (dans la cellule C1), 2 (dans la cellule D1), 3(dans la cellule E1), etc...
Sur la ligne en-dessous on entre, dans la cellule B2 de la ligne, la formule =2^B1, puis dans la cellule C2, la formule 2^B2, etc...
(Bref, on étend la formule à toute la ligne.)
On trouve bien sûr les valeurs des puissances de 2:
[tex]V_0=1\ ; V_1=2\ ; V_3=8...[/tex]
Notre conjecture est [tex](V_n)[/tex] est une suite croissante.
Démonstration :
[tex]V_{n+1}-V_n=2^{n+1}-2^n = 2*2^n-2^n=2^n(2-1)=2^n[/tex]
Or [tex]2^n>0[/tex] donc [tex]V_{n+1}-V_n\ \textgreater \ 0[/tex]
Donc [tex]V_{n+1}\ \textgreater \ V_n[/tex]
Donc [tex](V_n)[/tex] est une suite croissante.
(Autre solution pour démonstration :
[tex] \frac{2^{n+1}}{2^n}=2^{n+1-n} =2[/tex]
Donc [tex]V_{n+1}=2*V_n[/tex] et comme [tex]V_0=1[/tex], tous les éléments de la suite sont positifs et doublent en passant de [tex]V_{n}[/tex] à [tex]V_{n+1}[/tex]
Question 3
[tex](W_{n})[/tex] est une suite correspondant à la fonction du second degrés
[tex] x^{2}-8x+15[/tex]
Le coefficient de [tex] x^{2} [/tex] étant positif, cette fonction est représentée graphiquement par une parabole concave en haut, donc décroissante jusqu'au minimum puis croissante.
L'abscisse du minimum d'une parabole d'équation [tex]ax^2+bx+c[/tex] est donnée par la formule [tex] \frac{-b}{2a}[/tex].
Ici le minimum correspond à [tex]\frac{8}{2}=4[/tex].
[tex](W_{n})[/tex] est donc décroissante de [tex]W_0[/tex] à [tex]W_4[/tex] puis est croissante.
[tex](W_{n})[/tex] n'est donc pas une suite monotone décroissante.
