Bonsoir,
Exercice 1 :
1. Soit x dont le développement décimal illimité est 0.547547547547...
D'où le développement décimal illimité de 1000x est 547.547547547547...
D'où 1000x-x = 547 ⇒ 999x = 547 ⇒ x = 547/999 ⇒ x∈ℚ
2. Soit y dont le développement décimal illimité est 0.32875328753287532875...
D'où le développement décimal illimité de 100000y est 32875.32875328753287532875...
D'où 100000y-y = 32875 ⇒ 99999y = 32875 ⇒ y = 32875/99999 ⇒ y∈ℚ
3. Soit b dont le développement décimal illimité est 0.999...
D'où le développement décimal illimité de 10b est 9.999...
D'où 10b-b = 9 ⇒ 9b = 9 ⇒ b = 1
Exercice 2 :
Soit a ≔ (1+√5)/2
1.
a. a² = ((1+√5)/2)² = (1+√5)²/(2²) = (1+2√5+5)/4 = (6+2√5)/4 = (3+√5)/2
b. a+1 = ((1+√5)/2)+1 = ((1+√5)/2)+(2/2) = (1+√5+2)/2 = (3+√5)/2 = a²
2. Comme a ≠ 0, alors (1/a) = a-1 ⇔ 1 = a(a-1) ⇔ 1 = a²-a ⇔ a² = a+1
Or l'assertion "a² = a+1" est vraie d'après la question précédente.
D'où l'assertion "(1/a) = a-1" est également vraie puisqu'on a montré que c'est une assertion équivalente à "a² = a+1"
Donc (1/a) = a-1
3. On admet que 2 < √5 < 3
D'où 1+2 < 1+√5 < 1+3 ⇒ 3 < 1+√5 < 4
D'où 3/2 < (1+√5)/2 < 4/2
Donc 3/2 < a < 2
