C'est un problème classique de lycée ça x)
A.1) On a x=AM=DN
mais DN<AM donc x est majoré par la valeur de AD=8cm (dans le cas où N et A sont confondus) parce que si x>8 cm alors N n'appartient plus au segment [AD]. Donc x appartient à I = [0;8]
A.2 )En terme de longueurs :
AN = AD-DN = 8-x
BM=AB-AM=10-x
A.3) Ces trois triangles étant rectangle on applique la formule des aires:
[tex]A _{AMN} = AM*AN/2 = x(8-x)/2[/tex]
[tex]A _{DCN} = DN*DC/2 =10x/2 = 5x[/tex]
[tex]A _{BCM} = BC*BM/2 = 8(10-x)/2 = 4(10-x)[/tex]
A.4) L'aire de CMN c'est l'aire du rectangle moins l'aire de chacun des 3 triangles étudié précedemment :
[tex]A = 8*10 - [x(8-x)/2 +5x +4(10-x)] \\
A=80 - [5x - x^{2}/2 +40] \\
A=x^{2}/2 -5x+40 =f(x)[/tex]
B.1) IL faut essayer de reconnaitre une identité remarquable dans la formule de f(x).
B.2)
Calcul f(x)-f(5) et montre que c'est positif.
B.6) d'après la question B1) le minimum (atteint) est f(5) , donc pour x=5
B.7) en écrivant ce que ca veut dire : f(x)= (1/4)*10*8 = 20
Il faut résoudre f(x)=20 en passant 20 de l'autre coté tu étudies la nouvelle fonction polynomiale en cherchant ses racines éventuelles.
C.1) Il faut résoudre f(x)=28
C.2) Il faut jouer avec les identités remarquables.
D1) Il sera rectangle en M si et seulement si ses longueurs vérifient le théoreme de Pythagore : CN²=CM²+MN²
après il suffit de remplacer en fonction de x
D3) d'après cette nouvelle formule l'équation en (1) revient à résoudre :
(x-9)² = 17
soit x-9 = √17 ou x-9 = -√17
soit x=9+√17 ou x=9-√17
Comme 17<25, √17 <√25 = 5 donc la deuxième solution est bien positive
par contre 17>16 , donc √17 >√16 = 4 donc la première solution est supérieur à 8 et donc dans ce cas là x n'appartient pas à I.
L'unique solution pour que CMN soit rectangle est donc 9-√17.
