Bonjour,
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Rappel de cours : [Une formule de duplication]
Soit x un nombre réel.
Alors sin(2x) = 2cos(x)sin(x)
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[tex]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} sin(x)(2cos(x)-1)\,\mathrm{d}x=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (2cos(x)sin(x)-sin(x))\,\mathrm{d}x[/tex][tex]=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (sin(2x)-sin(x))\,\mathrm{d}x[/tex]
Or [tex]-\frac{cos(2x)}{2}+cos(x)[/tex] est une primitive de sin(2x)-sin(x) sur [0;π/3]
D'où [tex]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (sin(2x)-sin(x))\,\mathrm{d}x=\left[-\frac{cos(2x)}{2}+cos(x)\right ]_0^\frac{\pi}{3}[/tex][tex]=-\frac{cos(\frac{2\pi}{3})}{2}+cos( \frac{\pi}{3} )+\frac{cos(0)}{2}-cos(0)=-\frac{-\frac{1}{2}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}[/tex]
Donc [tex]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} sin(x)(2cos(x)-1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{4}[/tex]
