Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour la résolution de cet exercice, je suis en seconde. Je vous remercie par avance.

Objectif: Montrer que le réel √2 n'appartient pas à l'ensemble des rationnels, c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme a/b avec a et b entiers. On dit alors que √2 est irrationnel.

Résultat préliminaire:

Il s'agit de montrer que si le carré d'un nombre est pair, alors ce nombre est forcément pair.
1. Soit n un entier relatif. Développer (2n + 1)².
2. Considérons p un nombre impair. On peut l'écrire sous la forme p= 2n+1 avec n un entier relatif. Montrer que p² est un nombre impair.
3. Soit q un nombre dont le carré est pair. Pourquoi q ne peut-il pas être impair ?
4. Conclure.

Coeur du problème:

On raisonne par l'absurde, en supposant que √2 est un nombre rationnel. On va montrer que cela aboutit à une contradiction.
1. On suppose que √2 est rationnel. Expliquer pourquoi on peut écrire √2 = a/b, avec a et b premiers entre eux (c'est à dire que a et b n'ont aucun diviseur commun).
2. Montrer qu'on a l'égalité a² = 2b².
3. En déduire que a² est pair, puis que a est pair.
4. Justifier qu'on peut écrire a= 2k avec k entier.
5. En remplaçant dans l'égalité a² = 2b², montrer que b² est pair.
6. Que peut-on en conclure sur b ? Montrer que ce résultat est en contradiction avec un résultat précedemment obtenu. Conclure.

L'hypothèse selon laquelle √2 est rationnel conduit, selon une suite de raisonnements logiques, à une contradiction. C'est donc que cette hypothèse était fausse. En conclusion, √2 n'est pas un nombre rationnel.