👤
résolu

Preuve par récurrence d'une égalité de deux suites:
J'ai:
[tex]\left \{ {{u_n=1} \atop {u_{n+1}=2u_n+1} \right. [/tex]
et
[tex]v_{n}=2^{n+1}-1[/tex]

Je souhaite donc prouver que [tex]u_{n+1}=v_n[/tex]. Je pense qu'il faut utiliser un résonement par récurrence:
[tex]1.\ Init: n=0\\ u_{n+1} = u_{1} = 1\\ v_n = 2^{0+1}-1 = 1\\ 2. Recurrence: \forall n \in \mathbb{N}, n \to n+1[/tex]

C'est ici ou je bloque, je ne vois pas trop ou je dois aller maintenant...

Merci pour votre aide!

Répondre :

PROFDEMATHS1VIZ
suite : u(0)=1 ; u(n+1)=2*u(n)+1 ; v(n)=2^(n+1)-1

récurrence : P(n) : "pour tout entier n : u(n)=v(n)"

initialisation :
u(0)=1 et v(0)=1 ⇒ P(0) est vraie

hérédité :
supposons qu'il existe un entier k tel que P(k) vraie
⇒ u(k)=v(k)
⇒ u(k+1)=2*u(k)+1=2*v(k)+1=2*(2^(k+1)-1)+1=2^(k+2)-1=v(k+1)
⇒ P(k+1) est vraie

conclusion :
pour tout entier n : u(n)=2^(n+1)-1
Merci d'avoir visité notre site Web, qui traite d'environ Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter pour toute question ou demande d'assistance. À bientôt, et pensez à ajouter ce site à vos favoris !


Viz Asking: D'autres questions