f(x)=x³-x√x+1, x≥0
on pose g(x)=f(x)-x√x=x³-2x√x+1
on étudie g sur [0;+∞[
g'(x)=3x²-(2√x+2x.1/(2√x))
=3x²-2√x-√x
=3x²-3√x
=(3√x)(x√x-1)
g'(x)=0 ⇒ x=1 car x≠0
g'(x)>0 ⇒ x√x-1>0 ⇒ x>1
⇒ g est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[
⇒ g admet un minimum en g(1)=0
⇒ pour tout x>0 : g(x)≥0
⇒ pour tout x>0 : f(x) ≥ x√x
