Bonsoir ;
1)
a)
R(q) = 120q .
b)
B(q) = R(q) - C(q) = 120q - 2q² - 10q - 900 = - 2q² + 110q - 900 .
2)
Pour la première forme :
- 2(q - 55/2)² + 1225/2 = - 2(q² - 55q + 3025/4) + 1225/2
= - 2q² + 110q - 3025/2 + 1225/2 = - 2q² + 110q - 1800/2
= - 2q² + 110q - 900 .
Pour la deuxième forme :
- 2(q - 10)(q - 45) = - 2(q² - 45q - 10q + 450)
= - 2(q² - 55q + 450) = - 2q² + 110q - 900 .
3)
a)
L'expression algébrique du bénéfice est une fonction de second
degré , dont le coefficient du terme de degré 2 est : - 2 < 0 ;
donc le bénéfice est strictement positif pour q compris strictement
entre les racines de l'équation : B(q) = 0 ;
donc on utilise la deuxième expression qui donne ces racines ;
donc on a : 10 < q < 45 .
b)
Le maximum de B(x) est atteint pour t qui annule la partie carrée
de la première expression : (q - 55/2)² = 0 ;
donc : q - 55/2 = 0 ;
donc : q = 55/2 = 27,5 .
Comme q doit être un nombre entier naturel , donc on a :
q = 27 ou q = 28 .
On a : B(27) = - 2(27 - 55/2)² + 1225/2
= - 2(27 - 27,5)² + 612,5 = - 2(- 0,5)² + 612,5
= - 0,5 + 612,5 = 612 € .
On trouve la même chose pour q = 28 : B(28) = 612 € .
