Ex 2 :
f(x)=(x-1)/x.ln(x) : x>0
1) g(x)=x-1+ln(x) ; x>0
g'(x)=1+1/x
donc g'(x)>0
donc g est croissante sur ]0;+∞[
de plus g(1)=0 , d'après le th des valeurs intermédiaires appliqué à g sur IR+* on déduit que g est négative sur ]0;1[ et positive sur ]1;+∞[
2) f'(x)=(x-x+1)/x².ln(x)+(x-1)/x.1/x
=1/x².ln(x)+(x-1)/x²
=(x+1+ln(x))/x²
=g(x)/x²
donc f' est négative sur ]0;1[ et positive sur ]1;+∞[
donc f est décroissante sur ]0;1[ et croissante sur ]1;+∞[
lim((x-1)/x,0+)=-∞ et lim(ln(x),0+)=-∞
donc lim(f(x),0+)=+∞
lim((x-1)/x,+∞)=1 et lim(ln(x),+∞)=+∞
donc lim(f(x),+∞)=+∞
