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[tex]Bonsoir ; \\\\\\ a) \\\\\\ f(x) = \dfrac{e^x}{1+2e^x} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2e^x}{1+2e^x} = \dfrac{1}{2} \dfrac{(1+2e^x)'}{1+2e^x} \ ; \\\\\\ donc \ : \ F(x) = \dfrac{1}{2} ln(1+2e^x) + C \ . \\\\\\ On \ a \ : F(0) = 1 \ , \ donc \ \dfrac{1}{2} ln(3) + C = 1 \\\\\\ donc \ C = 1 - \dfrac{1}{2} ln(3) = 1 - ln( \sqrt{3} ) \ ; \\\\\\ donc \ \ F(x) = \dfrac{1}{2} ln(1+2e^x) + 1 - ln( \sqrt{3} ) \ .[/tex]
[tex]b)\\\\\\ f(x) = (x-1)(x^2-2x+ 2) = x^3-2x^2+2x-x^2+ 2x-2 \\\\\\ = x^3 -3x^2 + 4x - 2 \ ; \\\\\\ donc \ F(x)=\dfrac{x^4}{4}- x^3+2x^2-2x+ C \ ; \\\\\\ et \ comme \ F(1) = 2 \ alors \ F(1) = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 - 2 + C = - \dfrac{3}{4} + C = 2 \ ; \\\\\\ donc \ C = \dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{11}{4} \ ; donc \ F(x) = \dfrac{x^4}{4}- x^3+2x^2-2x+ \dfrac{11}{4} \ .[/tex]
[tex]b)\\\\\\ f(x) = (x-1)(x^2-2x+ 2) = x^3-2x^2+2x-x^2+ 2x-2 \\\\\\ = x^3 -3x^2 + 4x - 2 \ ; \\\\\\ donc \ F(x)=\dfrac{x^4}{4}- x^3+2x^2-2x+ C \ ; \\\\\\ et \ comme \ F(1) = 2 \ alors \ F(1) = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 - 2 + C = - \dfrac{3}{4} + C = 2 \ ; \\\\\\ donc \ C = \dfrac{3}{4} + 2 = \dfrac{11}{4} \ ; donc \ F(x) = \dfrac{x^4}{4}- x^3+2x^2-2x+ \dfrac{11}{4} \ .[/tex]
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