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résolu

Bonjour ,pouvez vous m'aider svp

Jean veut épargner.
Le 31 décembre 2010, il dépose 900 euros sur un livret,les intérets acquis étant capitalisés le 31 décembre 2011 à minuit,et il s'engage à déposer 900 sur ce livret tous les ans,le 31 décembre.

1) Quel est le capital disponible sur le livret?
A)le 1er janvier 2012?
B) le 1er janvier 2013?

2)On note:
U0 la somme disponible sur le livret le 1er janvier 2010,
U1 la somme disponible sur le livret le 1er janvier 2011,
U2 la somme disponible sur le livret le 1er janvier 2012,
et plus généralement,pour tout entier naturel n,
un la somme disponible sur le livret le 1er janvier de l'année 2010+n.

Montrer qu'on a la relation: un+1=1,03un+900

3) Soit (Vn) la suite définie,pour tout naturel n ,par:
Vn= Un +30000

a) Exprimez Vn+1 en fonction de Un+1
b)Déduiduisez-en l'expression de Vn+1 en fonction de Un en utilisant la relation

c) Exprimez Vn+1 en fonction de Vn

4)
a) Montrez que (Vn) est une géométrique.On précisera son premier terme et sa raison.

b)Déduisez-en l'expression de Vn en fonction de n ,puis celle de Un en fonction de n.

5) De quelle somme Jean disposera-t-il le 1er janvier 2041?*

Merci d'avance.

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
tu verses 9oo €uros par an, le taux d' intérêts est 3 % ( annuel )

Uo = 9oo € ; U1 = 9oo x 1,o3 + 9oo = 1827 €uros ;
U2 = 9oo x 1,o3² + 9oo x 1,o3 + 9oo
     = 1,o3 x ( 9oo x 1,o3 + 9oo ) + 9oo
     = 1,o3 x U1 + 9oo = 2781,81 €uros
U3 = 1,o3 x U2 + 9oo = 3765,26 €uros

Un+1 = 1,o3 x Un + 9oo

Vn = Un + 30ooo --> Vn+1 = Un+1 + 30ooo = 1,o3 x Un + 30ooo + 9oo
                                           = 1,o3 x Un + 309oo = 1,o3 x ( Un + 30ooo )
                                           = 1,o3 x Vn
(Vn) est donc bien une suite géométrique de terme initial Vo = 309oo et de raison "q" = 1,o3

Vn = Vo x 1,o3∧n = 309oo x 1,o3∧n

Un = Vn - 30ooo = (309oo x 1,o3∧n) - 30ooo

Somme dispo au 1er janvier 2o41 = Somme dispo le 31 décembre 2o4o à minuit = (309oo x 1,o3∧3o) - 30ooo = 45oo2,41 €uros
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