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résolu

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un devoir maison que je n'arrive pas à réaliser.

L'énoncé est le suivant :
ABCD est un rectangle tel que AB=5, AD=3. M est un point quelconque de [AB].
N et P sont des points respectivement de [BC] et [AD] tels que AM=BN=DP
On pose AM=x et on note f la fonction qui à x associe l'aire du triangle MNP.

1- Faire une figure
2-Pourquoi le domaine de définition de f est-il Df=[0;3] ?
3- Démontrer que pour tout réel x de Df, on a F(x)=(x-2)²+7/2
4- Pourquoi l'aire du triangle MNP est-elle minimale pour x=2 ? Que vaut cette aire minimale ?
5- Dans chacun des cas, trouver la ou les valeurs de x pour lesquelles :
a- f(x)=9/1
b- f(x)=11/2

J'ai seulement réussi à faire la première question mais je bloque pour les autres.
En vous remerciant d'avance pour l'aide apportée.

Répondre :

PROFDEMATHS1VIZ
1) figure

2) M∈[AB] donc x∈[0;5] et N∈[BC] donc x∈[0;3]
ainsi Df=[0;3]

3) f(x)=aire(ABCD)-aire(MBN)-aire(AMP)-aire(PDCN)
donc f(x)=15-x(3-x)/2-x(5-x)/2-7,5
donc f(x)=x²-4x+7,5
donc f(x)=(x-2)²+3,5

4) (x-2)²≥0 donc f(x)≥3,5
donc l'aire est minimale si x=2
l'aire minimale vaut 3,5

5) a) f(x)=9 donne (x-2)²=5,5
donc impossible dans Df
b) f(x)=11/2 donne (x-2)²=2
donc x=2-√2
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