1) résoudre graphiquement (en justifiant votre réponse) l'équation f (x) = 0
La courbe C de la fonction f, coupe l'axe des abscisses en x = 0 et x = 3
2) Dresser le tableau de variation de f sur [- 1/2 ; 9/2]
x - 1/2 1 3 9/2
f (x) - 6 →→→→→→ 4→→→→→→ 0→→→→→→ 10
croissante décroissante croissante
3) on admet que (C) est la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [- 1/2 ; 9/2] par : f (x) = x³ - 6 x² + 9 x
a) montrer que la fonction F définie par F (x) = 1/4) x⁴ - 2 x³ + 9/2) x² est une primitive de f sur [- 1/2 ; 9/2]
il suffit de montrer que F '(x) = f (x)
F '(x) = 4/4) x³ - 6 x² + 18/2) x = x³ - 6 x² + 9 x = f (x)
⇒ F (x) est une primitive de f(x) sur l'intervalle [- 1/2 ; 9/2]
3
b) calculer I = ∫ f (x) dx = F (x)
0
F(3) - F(0) = [1/4) (3)⁴ - 2(3)³ + 9/2)(3)²] - 0
= 81/4) - 2 x 27 + 81/2 = 27
⇒ I = 27 I représente l'aire de la courbe C comprise entre x = 0 et x = 3
4) Etablir l'équation de la tangente au point d'abscisse x0 = 1
L'équation de la tangente est donnée par l'expression suivante
y = f (a) + f '(a)(x - a) a = 1
y = f (1) + f '(1)(x - 1)
f (x) = x³ - 6 x² + 9 x ⇒ f '(x) = 3 x² - 12 x + 9
f '(1) = 3 - 12 + 9 = 12 - 12 = 0
f (1) = 1 - 6 + 9 = 10 - 6 = 4
L'équation de la tangente est : y = 4 ⇒ tangente horizontale
5) f '(x) = 3 x² - 12 x + 9
⇒ f '(x) = 0 = 3 x² - 12 x + 9
Δ = 144 - 108 = 36 ⇒ √36 = 6
x1 = 12 + 6)/6 = 18/6 = 3 ⇒ f (3) = 3³ - 6 *3² + 9*3 = 27 - 54 + 27 = 0
x2 = 12 - 6)/6 = 6/6 = 1 ⇒ f (1) = 1 - 6 + 9 = 4
Signe de f '(x)
x - 1/2 1 3 9/2
f '(x) + 0 - 0 +
Tableau de variation de f
x - 1/2 1 3 9/2
f (x) - 6.125→→→→→→ 4→→→→→→ 0→→→→→→ 10.125
croissante décroissante croissante
