Zn = (0,5 i)∧n * (1 + i √3)
Zo = (1 + i √3) --> (module = 2 ; argument = π/3 = 6o°)
Z1 = 0,5 i * (1+ i√3) = 0,5 i - 0,5√3 = - 0,5√3 + 0,5 i --> (mod = 1 ; arg = 5π/6)
Z2 = - 0,25 (1+ i√3) = 0,5 * (- 0,5 - i√3) --> (mod = 0,5 ; arg = 4π/3)
Z3 = - 0,125 i (1+ i√3) = - 0,125 i + 0,125√3 = 0,25 * (√3 /2 - 0,5 i )
--> (mod = 0,25 ; arg = 11π/6)
Z4 = (1/16) (1+ i√3) = (1/8) * (0,5 + i √3 /2) --> (mod = 1/8 ; arg = π/3)
2°) on comprend bien que Zn+1 s' obtient à partir de Zn
en divisant le module par 2 , et en ajoutant π/2 à l' argument .
3°) Zn = [ module = 0,5∧(n-1) ; argument = (3n+2) π/6 ]
4°) on dessine "un escargot à coquille carrée" !
( si on relie les points obtenus par des segments ) .
5°) on cherche "n" tel que 0,5∧(n-1) < 0,o1
(n-1) Ln 0,5 < Ln 0,o1
( n - 1 ) > Ln 0,o1 / Ln 0,5
n - 1 > 6,6
n > 7,6
on retient n = 8
vérif : 0,5∧7 = 0,oo8 environ, bien inférieur à 0,o1o .
6a) la Longueur du segment [ MM' ] va diminuant,
donc la Longueur maxi du segment sera MoM1 .
Coordonnées de Mo : ( 1 ; √3 )
M1 : (-0,5√3 ; 0,5)
donc MoM1 ² = (1+0,5√3)² + (0,5-√3)²
= 1 + √3 + 0,75 + 0,25 - √3 + 3
= 5
d' où MoM1 = √5
Comme le module est divisé par 2 pour passer d' un point M
au suivant, on comprend que M1M2 = (1/2) * √5
Conclusion : MnMn+1 = (1/2)∧n * √5
Démontrons-le : MnMn+1 = (1/2) * (1/2)∧(n-1) * √5
= (1/2) * Mn-1Mn
6b) L = somme des termes d' une suite géométrique de terme initial √5
et de raison "q" = 0,5 :
L = √5 * ( 1 - 0,5∧n ) / ( 1 - 0,5 ) = 2√5 * ( 1 - 0,5∧n )
6c) lim L pour n--> +∞ ?
lim L = 2√5 = 4,472 cm environ !
7°) angle (OMo ; OMn) = 0 pour n = 4 ; 8 ; 12 ; ...
= π/2 pour n = 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; ...
= π pour n = 2 ; 6 ; 1o ; 14 ; ...
= 3π/2 pour n = 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ...
8°) les points Mo O Mn sont alignés pour "n" pair
( cela découle de la réponse à la question 7° ! )
