f(x) = e(3x) --> f '(x) = 3 * e(3x) toujours positive !
g(x) = -β² e(x) + 2β e(2x)
on ne peut pas utiliser "lambda" donc j' ai pris "beta" !
donc g '(x) = -β² e(x) + 4β e(2x) = β e(x) * [ 4 e(x) - β ]
g '(x) est positive pour x > Ln(β/4)
pour répondre à ta question c, il faut résoudre f '(x) = g '(x), donc :
3 e(3x) = -β² e(x) + 4β e(2x)
3 e(3x) - 4β e(2x) + β² e(x) = 0
3 e(2x) - 4β e(x) + β² = 0
3 X² - 4β X + β² = 0 avec X = e(x)
( 3 X - β ) ( X - β ) = 0
donc X = β/3 OU X = β
d' où e(x) = β/3 OU e(x) = β
x = Ln(β/3) OU x = Lnβ
vérifions les coordonnées du point B tel que x = Lnβ :
f(Lnβ) = e(3Lnβ) = [ e(Lnβ)]puissance3 = βpuiss3
g(Lnβ) = -β² * e(Lnβ) + 2β * e(2Lnβ) = -βpuiss3 + 2β * [ e(Lnβ) ]²
= -βpuiss3 + 2β * β²
= -βpuiss3 + 2 βpuiss3
= βpuiss3 = f(Lnβ)
le point B a bien pour coordonnées ( Lnβ ; β³ ) et c'est le point pour lequel les deux Courbes admettent la même tangente !
question d) :
tableau : x 0 1 2 Lnβ
f(x) 1 e³ e∧6 β³
g(x) 2β-β² -β²e+2β e² -β²e²+2β e∧4 β³
méthode rigoureuse :
Primitive de f(x) - g(x) = F(x) - G(x) = e(3x) /3 + β² e(x) - β e(2x)
d' o�� l' Aire étudiée = β³/3 + β³ - β³ - 1/3 - β² + β = (1/3) (β³-3β²+3β-1)
= (1/3) ( β - 1 )³
conclusion : affirmation "d" vraie !
remarque : affirmation "a" fausse !
