Bonjour,
AireABCD = 6 * 4 = 24
Soit x, la longueur AM,
AireMNPQ = 24 - (x (4 - x) + x (6 - x))
AireMNPQ = 24 - (4x - x² + 6x - x²)
AireMNPQ = 24 - 4x + x² - 6x + x²
AireMNPQ = 2x² - 10x + 24
a = 2 ; b = -10 ; c = 24
Toute fonction polynome de degré 2 définie par f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 admet pour forme canonique f(x) = a (x - α)² + β avec α = -b/(2a) et β = f(α)
α = -(-10)/(2 * 2) = 10/4 = 5/2 = 2,5
β = f(2,5) = 2 * 2,5² - 10 * 2,5 + 24 = 11,5
La forme canonique de 2x² - 10x + 24 est 2 (x - 2,5)² + 11,5
Le sommet de la fonction a pour coordonnees (α ; β) soit (2,5 ; 11,5)
Ainsi, l'aire de MNPQ est la plus petite pour x = 2,5 ou le point M est situé à 2,5 cm du point A.
Bonus : les triangles AMQ et NCP sont égaux, de meme pour les triangles QDP et MBN. Donc les segments QN, PN et QP, MN sont respectivement égaux.
Un quadrilatere ayant ses côtés opposés de meme longueur est un paralleleogramme
Ainsi, le quadrilatere MNPQ est un parallélogramme
