1a) dérivée f '(x) = [ 2(x²+1) - 4x(x-1) ] / (x²+1)²
= [ 2x² + 2 - 4x² + 4x ] / (x²+1)²
= 2 ( 1 + 2x - x² ) / (x²+1)²
dérivée nulle pour 1 + 2x - x² = 0 donc pour x = 1-√2 OU x = 1+√2
1b) tableau :
x -∞ -1 1-√2 0 1 1+√2 +∞
f '(x) - -1 0 +2 1 0 -
f(x) 2- 0 -√2 0 2 2,243 2+
2°) tangente en A ( 1 ; 2 ) : y = x + 1 car f '(1) = 1
3°) f '(x) = -1 donne 2 + 4x - 2x² = - x4 - 2x² - 1 donc x4 + 4x + 3 = 0
(x+1)²(x²-2x+3) = 0
d' où x = -1 car x²-2x+3 est toujours positif et JAMAIS nul !
conclusion : B ( -1 ; 0 ) admet bien pour tangente y = -x - 1
4°) f(x) = 0 donne 2x - 2 = - 2x² - 2 donc 2x = - 2x² d' où x= 0 OU x =-1
5a) f(x) = 2 donne le point E ( 0 ; 2 )
5b) f(x) < 2 donne x < 1 la Courbe sera donc SOUS l' asymptote d' équation y = 2 ( à gauche ) . La courbe sera par contre AU-DESSUS de la même asymptote à droite ( côté IR+ ) .
6°) le graphique donne un "transat relax de terrasse" !
