Bonjour, voici une aide...
Partie A
T suit la loi Géométrique de paramètre p=0,07
(7% de noyaux radioactifs)
pour tout k∈[1;+∞[ : p(T=k)=(1-p)^(k-1)*p
p(T=0)=0 car T est définie sur [1;+∞[
p(T=1)=0,07
p(T=2)=0,93*0,07=0,0651
p(T=3)=0,93^2*0,07=0,060543
p(T=10)=0,93^9*0,07=0,03642
p(T=200)=0,933^199*0,07≈4*10^(-8)
E(T)=∑p(X=k)*k=∑0,93^(k-1)*0,07k=-0,07*(∑(-k)(0,93^(k-1))
cela représente la dérivée de la série convergente : -0,07*∑(0,93^(k-1))
donc E(T)=-0,07*(-1/(1-0,93)²)=0,07/0,07²=1/0,07=100/7
Partie B
on généralise dans le cas où T suit la loi Géométrique de paramètre p=0,07
pour n unités de temps
E(Tn)=∑p(Xn=k)*k=∑0,93^(k-1)*0,07k=-0,07*(∑(-k)(0,93^(k-1))
donc E(Tn)=(-p)*[(1-(1-p)^n)/p]'
on obtient après dérivation :
E(Tn)=(-p)*(np(1-p)^(n-1)-1+(1-p)^n))/p²
soit E(Tn)=(-1/p)*[np(n-p)^(n-1)-1+(1-p)^]
ainsi si n→+∞ alors E(Tn)→1/p
