Bonjour,
Soit la fonction g définie sur R et donnée par:
g(x)=x^4-2x³-18x²
On a un polynôme du 4ème degrés qui est dérivable sur R ∀x, on nomme g' cette dérivée:
g'(x)=(x^4-2x³-18x²)'
g'(x)=4x³-3×2x²-2×18x
g'(x)=4x³-6x²-36x
g'(x)=2x(2x²-3x-18)
Nous allons étudier le signe de cette dérivée.
g'(x)=0
2x(2x²-3x-18)=0
2x=0⇒x=0
2x²-3x-18=0
Δ=b²-4ac=(-3)²-4(2)(-18)=153
x(1)=(-b-√Δ)/2a=3-√153/4
x(2)=(-b+√Δ)/2a=(3+√153)/4
On en déduis alors le signe de g' sur R ainsi que les variations de g sur R (voir pièce jointe)
g'(x)≤0 si x∈]-∞,(3-√153)/4]∪[0;(3+√153)/4] donc g est décroissante sur cette intervalle.
g'(x)≥0 si x∈[(3-√153)/4;0]∪[(3+√153)/4;+∞[ donc g est croissante sur cet intervalle.
