Bonsoir, voici l'exercice n° 14 effectué en entier.
Si tu souhaites une aide pour le n° 15 peux-tu envoyer un autre post ?...
Ex 14 :
1) Soit (P) l'ensemble des nombres premiers.
Pour tout n, entier strict positif, et tout p appartenant à (P) on note Vp l'exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers.
Pour k suffisamment grand, E(n/p^k)=0
en effet si n/p^k<1 alors E(n/p^k)=0 (où E(x) est la partie entière de x)
or n!=1*2*3*...*(n-1)*n
donc la somme des valeurs de E(n/p^k) ne comporte qu'un nombre fini de valeurs.
Ainsi, il y a exactement E(n/p) nombres divisibles par p
il y a exactement E(n/p²) nombres divisibles par p²
... il y a exactement E(n/p^k) nombres divisibles par p^k
donc α=Vp(n!)=∑E(n/p^k) pour k=1→+∞
2) applications numériques
a) p=2 et n=100
alors α=V2(100!)=∑E(100/2^k) pour k=1→+∞
or E(100/2^7)=0
donc α=E(100/2)+E(100/2²)+E(100/2³)+E(100/2^4)+E(100/2^5)+E(100/2^6)
soit α=50+25+12+6+3+1 donc α=97
b) p=5 et n=100
alors α=V5(100!)=∑E(100/5^k) pour k=1→+∞
or E(100/5³)=0
donc α=E(100/5)+E(100/5²)
soit α=20+4 donc α'=24
c) 10=2*5 en décomposition en facteurs premiers
on pose n=100 et on décompose 100! en facteurs premiers
or l'exposant de 2 comporte au moins 24 valeurs
l'exposant de 5 comporte exactement 24 valeurs
donc l'exposant de 10 comporte exactement 24 valeurs
ainsi le nombre 100! comporte exactement 24 "chiffres 0"
