1) a) par hypothèse :
P(x)=a(n)*x^n.a(n-1)*x^(n-1)+...+a1x et Q(x)=P(x)-a
∀i∈{1,2,...,n} : P(a(i))=a
donc ∀i∈{1,2,...,n} : P(a(i))-a=0
donc ∀i∈{1,2,...,n} : Q(a(i))=0
donc chacun des a(i) est une racine propre du polynôme Q
b) ainsi il existe une décomposition en facteurs premiers de Q(x) :
Q(x)=(x-a(n))(x-a(n-1))...(x-a1)
donc P(x)-a=(x-a(n))(x-a(n-1))...(x-a1)
donc P(x)=(x-a(n))(x-a(n-1))...(x-a1)+a
ainsi le reste de la division Euclidienne par h(x) est : a
c) de même (Q(x))^k=(x-a(n))^k(x-a(n-1))^k...(x-a1)^k
donc (P(x)-a)^k=(x-a(n))^k(x-a(n-1))^k...(x-a1)^k
donc le reste de division Euclidienne de (Px))^k par h(x) est :
∑C(n,k).a^k(x-a(i))^k
2) a) on suppose maintenant qu'il existe un réel α tel que :
∀ x∈ IR , P(x)=P(x+α) et Q(x)=P(x)-P(α)
donc Q(α)=P(α)-P(α)=0
de même : Q(2α)=P(2α)-P(α)=P(α)-P(α)=0
et : Q(nα)=P(nα)-P(α)=P(α)-P(α)=0
ainsi : ∀ n ∈ IN : Q(nα)=0
donc les racines de Q sont : b(i)=i.α pour i∈{1,2,3...,n}
