Bonjour,
1)a) g(x) = x - 1 + ln(x) sur Dg = ]0;+∞[
g'(x) = 1 + 1/x = (x + 1)/x
⇒ sur Dg, g'(x) > 0 ⇒ g croissante
b) g(1) = 1 - 1 + ln(1) = 0
On en déduit :
x 0 1 +∞
g'(x) ||
g(x) || croissante 0 croissante
g(x) || négative positive
2) a) f(x) = (x - 1)ln(x)/x
f'(x) = [(ln(x) + (x - 1)/x)x - (x - 1)ln(x)]/x²
= [xln(x) + x - 1 - xln(x) + ln(x)]/x²
= [ln(x) + x - 1]/x²
= g(x)/x²
b) ⇒ f' est du signe de g
x 0 1 +∞
g(x) - 0 +
f'(x) - 0 +
f(x) décrois. croiss.
c) lim f(x) quand x → 0+ = lim - ln(x)/x = +∞ (croissances comparées)
et lim f(x) quand x → +∞ =
d) ci-dessus avec f(1) = 0
