Bonjour,
Ex 45)
On va se placer dans le repère (A;i,j) avec i = AB/5 et j = AD/2
Dans ce repère : A(0;0) B(5;0) C(5;2) D(0;2)
E(0;1) et F(3;0)
1) AB.AC = ||AB|| x ||AC|| x cos(BAC)
||AB|| = 5, ||AC|| = √[(5 - 0)² + (2 - 0)²] = √(29)
Or B est le projeté orthogonal de C sur (AB). Donc AB.AC = AB.AB = 25
Donc cos(BAC) = 25/5√(29) = 5/√(29)
⇒ BAC = cos⁻¹(5/√(29)) ≈ 21,80°
2) FB.FD = ||FB|| x ||FD|| x cos(DFB)
||FD|| = √[(3 - 0)² + (0 - 2)²] = √(13)
||FB|| = 2
Or FD.FB = (FA + AD).FB
= FA.FB + AD.FB
= 3x2x(-1) + 0 = -6 (car l(angle (FA,FB) = -π donc cos(-π) = -1)
⇒ cos(DFB) = -6/2√(13) = -3/√(13)
⇒ DFB = cos⁻¹(-3/√(13)) ≈ 146,31°
3) FC.FD = ||FC|| x ||FD|| x cos(DFC)
||FC|| = √[(5 - 2)² + (2 - 0)²] = √(29)
||FD|| = √(13)
FC.FD = (FA + AC).(FA + AD)
= FA² + FA.AD + AC.FA + AC.AD
= 3² + 0 + (AB + BC).FA + (AB + BC).AD
= 9 + AB.FA + BC.FA + AB.AD + BC.AD
= 9 + 5x3x(-1) + 0 + 0 + 4
= -2 (il y a un calcul plus court que tu rechercheras...)
⇒ cos(DFC) = -2/√(13)√(29)
et DFC = cos⁻¹(-2/√(13 x 29)) ≈ 95,91°
4) EF.EC = ||EF|| x ||EC|| x cos(CEF)
||EF|| = √[(3 - 0)² + (0 - 1)²] = √(10)
||EC|| = √[(5 - 0)² + (2 - 1)²] = √(26)
EF.EC = (EA + AF)(ED + DC)
= EA.ED + EA.DC + AF.ED + AF.DC
= -1 + 0 + 0 + 3x5
= 14
⇒ cos(CEF) = 14/√(10)√(26)
⇒ CEF = cos⁻¹(14/√(260)) ≈ 29,74°
Ex 46
MN² = (MO + ON)²
= MO.MO + 2MO.ON + ON.ON
= 25 + 2 x 5 x 8 x cos(MO;ON) + 64
= 89 + 80 x cos(3π/4)
= 89 - 80√2/2
= 89 - 40√2
⇒ MN = √[89 - 40√2] ≈ 5,69
