f(x) = x³/6) - (x²/4) - x
1) en utilisant le taux d'accroissement, déterminé le nombre dérivé en 0 de la fonction f
Taux d'accroissement = f(a + h) - f(a)]/h
a = 0 ⇒ Taux d'accroissement = f(h) - f(0)/h
f(h) = (h³/6) - (h²/4) - h
f(0) = 0
⇒ h(h²/6 - h/4 - 1)/h = h²/6 - h/4 - 1
Lim (h²/6 - h/4 - 1) = - 1 ⇒ f '(0) = - 1
h→0
2) Déterminer l'équation réduite de la tangente en 2
L'équation de la tangente en a est:
y = f(a) + f '(a)(x - a)
a = 2 ⇒ y = f(2) + f '(2)(x - 2)
f '(x) = x²/2) - (x/2) - 1 ⇒ f '(2) = 4/2) - (2/2) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0
f(2) = 2³/6) - (2²)/4 - 2 = 4/3 - 3 = - 5/3
⇒ l'équation de la tangente est : y = - 5/3
3) Etudier les variations de la fonction f
f '(x) = x²/2 - x/2 - 1 ⇔ f ' (x) = 1/2(x² - x - 2)
f '(x) = 0 ⇔ x² - x - 2 = 0
Δ = 1 + 8 = 9 ⇒ √9 = 3
x1 = 1 + 3)/2 = 2 ⇒ f(2) = - 5/3
x2 = 1 - 3)/2 = - 1 ⇒ f(- 1) = - 1/6) - 1/4 + 1 = - 2 - 3 + 12)/12 = 7/12
Signe de f(x)
x - ∞ - 1 2 + ∞
f(x) + - +
Tableau de variation
x - ∞ - 1 2 + ∞
f(x) - ∞→→→→→ 7/12→→→→ - 5/3 →→→→ + ∞
croissante décroissante croissante
4) pour le graphique, il faut chercher où la courbe coupe l'axe des abscisses
f(x) = 0 = x³/6) - (x²/4) - x = x(x²/6 - x/4 - 1) = 0 ⇒ x = 0
x²/6 - x/4 - 1 = 0
Δ = (1/4)² + 4/6 = 1/16) + 4/6 = 3/48 + 32/48 = 35/48 ≈ 0.73 ⇒√0.73 = 0.85
x1 = 0.25 + 0.85)/1/3 = 3.3
x2 = - 1.8
donc la courbe de f coupe l'axe des abscisses en x = 0, x = - 1.8 et x = 3.3
