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résolu

On admet que deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont colinéaires si et seulement si xy' -x'y=0. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-3;1) B(2;4). M(x;y) est un point de la droite (AB).
Partie A :
1)Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et AM
2) Expliqué pourquoi les vecteurs AB et AM sont colinéaires
3) En déduire que 5y -3x=14 puis l'équation réduite de la droite (AB)
4) Déterminer de manière différente l'équation réduite de la droite (AB)

Bonjour pourriez vous m'aider s'il vous plaît c'est un exercice de dm Que je dois rendre lundi merci d'avance pour votre aide.

Répondre :

1) déterminer les coordonnées des vecteurs AB et AM

vect(AB) = (2 + 3 ; 4 - 1) = (5 ; 3)

vect(AM) = (x + 3 ; y - 1)

2) expliquer pourquoi les vecteurs AB et AM sont colinéaires 

on admet que 2 vecteurs sont colinéaires ssi xy' - x'y = 0

puisque M(x ; y) ∈ vect(AB)  donc AB et AM sont colinéaires , pour tout réel k  on a  vect(AB) = k x vect(AM)

(5 ; 3) = k(x + 3 ; y - 1)  ⇒  k(x + 3) = 5  et  k(y - 1) = 3 

 k = 5/(x + 3)  et  k = 3/(y - 1)  donc  5/(x+ 3) = 3/(y - 1)

⇔ 3(x + 3) = 5(y - 1)  

⇔ 3(x + 3) - 5(y - 1) = 0  donc les vecteurs AB et AM sont colinéaires   

 3) en déduire que 5 x - 3 y = 14,  puis l'équation réduite de la droite (AB)

    5(y - 1) - (x+ 3)3 = 0  ⇔ 5 y - 5 = 3 x + 9 ⇔ 5 y - 3 x = 9 + 5

 ⇒ 5 y - 3 x = 14

 ⇒ l'équation réduite de la droite (AB) est : y = 3/5) x + 14/5

 4) déterminer d'une manière différente l'équation réduite de la droite (AB)

 l'équation réduite est y = a x + b

 a ; coefficient directeur = yb - ya)/(xb - xa) = 4 - 1)/2 + 5 = 3/5

 1 = - 3/5)*3 + b ⇒ b = 1 + 9/5 = 14/5

y = 3/5) x + 14/5   
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