Bonsoir :) !
1) f est définie sur [tex]\R[/tex] si et seulement si [tex]x^2+x+3[/tex] est positif pour tout [tex]x \in \R[/tex].
Si tu veux le rédiger, je te conseille de calculer le discriminant de ce trinôme, qui est -11, ce qui veut dire que le signe est le même partout et surtout du signe de a (1, donc positif).
2) J'imagine qu'il faut dériver f, sa dérivée est :
[tex]f'(x) = \dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+3}}[/tex]
(tu peux le rédiger en disant que f est de la forme sqrt(u)).
Ainsi on détermine le signe de ce quotient :
Le numérateur est une fonction affine donc très simple à trouver, il s'annule en -1/2 et est croissant
Le dénominateur est simplement 2f(x), et comme ce qui est sous la racine est positif (on l'a montré question 1) et comme la fonction racine est croissante sur son intervalle de définition, tout comme la fonction [tex]h : x \mapsto 2x[/tex], on a le dénominateur toujours positif.
Ainsi les variations de f sont :
Décroissante jusqu'à -1/2
Croissante après
[tex]f(\dfrac{-1}{2})=\dfrac{\sqrt{11}}{2}[/tex]
et les limites sont [tex]+\infty[/tex] des deux côtés.
3) Tu peux le montrer en disant que :
[tex]f(\dfrac{-1}{2}-x)=f(\dfrac{-1}{2}+x)[/tex]
Ce qui est très facile en substituant x dans l'expression de f(x), et en développant ce qui est sous la racine.
4) Les deux asymptotes obliques sont :
[tex] D : y = x + \dfrac{1}{2}[/tex]
[tex] D' : y = -x - \drac{1}{2}[/tex]
(Je te laisse démontrer ce résultat en montrant que la limite de la différence est 0)
5) À toi de le faire.
6) a) À toi de le faire.
b) À toi de le faire aussi ;)
En espérant t'avoir aidé ;) !
