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résolu

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour cet exercice svp ? Merci d'avance.

Un jeu consiste, après avoir misé 2 €, à tirer, l’une après l’autre sans remise, 2 boules dans une urne qui
contient 3 boules noires et 2 rouges.
Si le joueur obtient 2 boules rouges, on lui donne 13 €.
S’il obtient 1 noire et 1 rouge, il peut remettre la noire dans l’urne et, après avoir mélangé, tirer 1 nouvelle
boule. S’il obtient 1 rouge, on lui donne 3 € ; sinon, il a perdu.
S’il obtient 2 noires, il a perdu.
On appelle X le gain algébrique (ce gain peut être négatif) du joueur.
1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
2. Montrer que p(X = 1) = 0,3.
Donner dans un tableau la loi de probabilité de X.
3. Montrer que ce jeu n’est pas équitable. À qui profite-t-il ? Expliquer.
4. Quelle devrait être la mise pour que le jeu soit équitable ?

Répondre :

CROISIERFAMILYVIZ
mise = 2 € ; 3 noires + 2 rouges gagnantes ; pas de remise sauf ...

Gains possibles = perte de 2 € ; gain net de 1 € ; gain net de 11 €uros

proba(perte de la mise) = 3/5 x 2/4 + 3/5 x 2/4 x 3/4 + 2/5 x 3/4 x 3/4
                                       = 3/5 x 1/2 + 3/5 x 6/16 + 2/5 x 9/16
                                       = 3/1o + 18/8o + 9/4o
                                       = 12/4o + 9/4o + 9 /4o
                                       = 3o/4o = 75 %

proba(gain 1 €) = 3/5 x 2/4 x 1/4 + 2/5 x 3/4 x 1/4
                         = 3/5 x 2/16 + 2/5 x 3/16
                         = 6/8o + 6/8o
                         = 12/8o
                         = 15 %

proba(gain net de 11 €) = 2/5 x 1/4 = 2/2o = 1/1o = 1o %

le p(X=1) de ton texte semble donc FAUX !!!

"Gain"                - 2€                +1€                +11€          TOTAUX
proba                 0,75               0,15               0,1o                 1
E(X)                  -1,5               +0,15             +1,1o              -0,25

on constate que le jeu profite à l' organisateur, pas au joueur qui perd en moyenne 0,25 € par partie !

pour que le jeu soit "équilibré" , il faut résoudre cette équation :
0,15 x (3-m) + 0,1o x (13-m) - 0,75 x m = 0
       0,45 - 0,15m + 1,3 - 0,1m - 0,75m = 0
                                               1,75 - m = 0
                                                        m = 1,75

conclusion : le jeu serait équitable avec une mise de 1,75 €uro seulement !
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