Bonjour :)
1) a) Tu peux faire un schéma sur ton brouillon, tu déduis assez simplement :
[tex]R = (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})[/tex].
b) C'est une droite non-verticale, donc son équation peut être réduite à :
[tex](BC) : y = mx+p[/tex].
Le coefficient directeur de la droite est de :
[tex]m_{(BC)} = \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} = \dfrac{3-0}{0-4} = \dfrac{-3}{4}[/tex].
De plus, la droite passe par [tex]C(0;3)[/tex] donc son ordonnée à l'origine est 3. On a donc l'équation réduite de (BC) :
[tex](BC) : y = \dfrac{-3}{4}x + 3[/tex].
c) Comme [tex]M \in (BC)[/tex], on a :
[tex]y_M = \dfrac{-3}{4}x_M + 3[/tex].
2) a) J'imagine que f(x) représente la distance AM au carré en fonction de [tex]x_M[/tex].
[tex]f(x_M) = AM^2 = (x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2[/tex]
[tex]= x_M^2 + (\dfrac{-3}{4} x_M + 3)^2[/tex]
[tex]= x_M^2 + \dfrac{9x_M^2}{16} - \dfrac{9x_M}{2} + 9[/tex]
[tex]= \dfrac{25}{16}x_M^2 - \dfrac{72}{16}x_M + \dfrac{144}{16}[/tex]
[tex]= \dfrac{1}{16}(25x_M^2 - 72x_M + 144)[/tex]
De plus :
[tex]\dfrac{25}{16} (x-\dfrac{36}{25})^2 + \dfrac{144}{25}[/tex]
[tex]= \dfrac{25}{16} * (x^2 - \dfrac{72x}{25} + (\dfrac{36}{25})^2) + \dfrac{144}{25}[/tex]
[tex]= \dfrac{25}{16}x^2 - \dfrac{9x}{2} + \dfrac{81}{25} + \dfrac{144}{25}[/tex]
[tex]= \dfrac{1}{16} ( 25x^2 - 72x + 144) = f(x)[/tex].
Ainsi :
[tex]f(x) = \dfrac{25}{16} * (x - \dfrac{36}{25})^2 + \dfrac{144}{25}[/tex].
b) Comme on a la forme canonique de f(x), le [tex]x_M[/tex] tel que AM² soit minimale est :
[tex]x_{M_{min}} = \dfrac{36}{25}[/tex]
La distance AM minimale est :
[tex]AM_{min} = \sqrt{AM_{min}^2} = \sqrt{f(x)_{min}} = \sqrt{\dfrac{144}{25}} = \dfrac{12}{5}[/tex].
La coordonnée en y de M est de :
[tex]y_{M_{min}} = \dfrac{-3}{4}x_{M_{min}} + 3 = \dfrac{48}{25}[/tex].
Ainsi :
[tex]M(\dfrac{36}{25};\dfrac{48}{25})[/tex].
