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Bonjour :)
Exercice 1 :
(Note que je ne note pas les unités, mais tout est en centimètre parce que flemme :))
1) Il s'agit d'un prisme dont la base est un triangle rectangle (AM = BN donc (MN) et (AE) sont perpendiculaires, donc MNE est rectangle en M, et de la même manière pour le triangle QPH).
Comme [tex]x=2[/tex], on a :
[tex]ME = 4-2 = 2[/tex]
[tex]NE = HP = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}[/tex]
[tex]MQ = NP = MN = QP = EH = 4[/tex].
2) a) Tout d'abord V(x) :
[tex]V(x) = AM \times AB \times AD = x \times 4 \times 4 = 16x[/tex].
Ensuite, W(x) :
[tex]W(x) = MQ \times Aire_{EMN} = MQ \times \dfrac{1}{2} MN \times ME[/tex]
(car MNE est rectangle en M donc MN et ME sont la base et la hauteur du triangle)
[tex]W(x) = 4*4*(4-x)*\dfrac{1}{2} = 8(4-x) = -8x+32[/tex].
b) Il suffit de résoudre l'équation :
[tex]W(x) \geq V(x)[/tex]
[tex]-8x+32 \geq 16x[/tex]
[tex]32 \geq 24x[/tex]
[tex]x \leq \dfrac{32}{24}[/tex]
[tex]x \leq \dfrac{4}{3}[/tex].
Donc il faut que [tex]0 \leq x \leq \dfrac{4}{3}[/tex].
Exercice 2 :
Je te conseille fortement de faire un schéma pour cet exercice.
Appelons [tex]d[/tex] la largeur de l'allée, et [tex]x[/tex] la longueur du côté du carré que représente le parc entier. Appelons aussi [tex]P_1[/tex] et [tex]P_2[/tex] les périmètres de l'extérieur et de l'intérieur de l'allée respectivement. Comme Hélène fait trois tours, on a :
[tex]3P_1 = 3P_2 + 96[/tex]
[tex]P_1 = P_2 + 32[/tex]
On a aussi la relation [tex]P_1 = 4x[/tex] comme c'est le périmètre du carré de côté [tex]x[/tex]. On remarque aussi que [tex]\dfrac{P_2}{4} + 2d = \dfrac{P_1}{4} = x[/tex].
Ainsi :
[tex]P_2 + 8d = P_1[/tex]
Sauf que [tex]P_1 = P_2 + 32[/tex] d'où :
[tex]d = \dfrac{32}{8} = 4[/tex]m.
Enfin, l'aire de l'allée est égale à [tex]4d(x-d)[/tex] (en fait on prend un côté de l'allée, on enlève un coin, ce qui en fait un rectangle de dimensions d par x-d, et on multiplie l'aire d(x-d) par 4 pour avoir l'aire de l'allée). On peut donc retrouver x :
[tex]4d(x-d) = 5216[/tex]m²
[tex]4 \times 4(x-4) = 5216[/tex]
[tex]16x-64 = 5216[/tex]
[tex]16x = 5280[/tex]
[tex]x = \dfrac{5280}{16} = 330[/tex]m.
On retrouve donc l'aire totale du parc :
[tex]A_{parc} = x^2 = 330^2 = 108 900[/tex] m².
Bonne journée :) !
Exercice 1 :
(Note que je ne note pas les unités, mais tout est en centimètre parce que flemme :))
1) Il s'agit d'un prisme dont la base est un triangle rectangle (AM = BN donc (MN) et (AE) sont perpendiculaires, donc MNE est rectangle en M, et de la même manière pour le triangle QPH).
Comme [tex]x=2[/tex], on a :
[tex]ME = 4-2 = 2[/tex]
[tex]NE = HP = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}[/tex]
[tex]MQ = NP = MN = QP = EH = 4[/tex].
2) a) Tout d'abord V(x) :
[tex]V(x) = AM \times AB \times AD = x \times 4 \times 4 = 16x[/tex].
Ensuite, W(x) :
[tex]W(x) = MQ \times Aire_{EMN} = MQ \times \dfrac{1}{2} MN \times ME[/tex]
(car MNE est rectangle en M donc MN et ME sont la base et la hauteur du triangle)
[tex]W(x) = 4*4*(4-x)*\dfrac{1}{2} = 8(4-x) = -8x+32[/tex].
b) Il suffit de résoudre l'équation :
[tex]W(x) \geq V(x)[/tex]
[tex]-8x+32 \geq 16x[/tex]
[tex]32 \geq 24x[/tex]
[tex]x \leq \dfrac{32}{24}[/tex]
[tex]x \leq \dfrac{4}{3}[/tex].
Donc il faut que [tex]0 \leq x \leq \dfrac{4}{3}[/tex].
Exercice 2 :
Je te conseille fortement de faire un schéma pour cet exercice.
Appelons [tex]d[/tex] la largeur de l'allée, et [tex]x[/tex] la longueur du côté du carré que représente le parc entier. Appelons aussi [tex]P_1[/tex] et [tex]P_2[/tex] les périmètres de l'extérieur et de l'intérieur de l'allée respectivement. Comme Hélène fait trois tours, on a :
[tex]3P_1 = 3P_2 + 96[/tex]
[tex]P_1 = P_2 + 32[/tex]
On a aussi la relation [tex]P_1 = 4x[/tex] comme c'est le périmètre du carré de côté [tex]x[/tex]. On remarque aussi que [tex]\dfrac{P_2}{4} + 2d = \dfrac{P_1}{4} = x[/tex].
Ainsi :
[tex]P_2 + 8d = P_1[/tex]
Sauf que [tex]P_1 = P_2 + 32[/tex] d'où :
[tex]d = \dfrac{32}{8} = 4[/tex]m.
Enfin, l'aire de l'allée est égale à [tex]4d(x-d)[/tex] (en fait on prend un côté de l'allée, on enlève un coin, ce qui en fait un rectangle de dimensions d par x-d, et on multiplie l'aire d(x-d) par 4 pour avoir l'aire de l'allée). On peut donc retrouver x :
[tex]4d(x-d) = 5216[/tex]m²
[tex]4 \times 4(x-4) = 5216[/tex]
[tex]16x-64 = 5216[/tex]
[tex]16x = 5280[/tex]
[tex]x = \dfrac{5280}{16} = 330[/tex]m.
On retrouve donc l'aire totale du parc :
[tex]A_{parc} = x^2 = 330^2 = 108 900[/tex] m².
Bonne journée :) !
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