Bonsoir,
1) D'après l'énoncé, le carré ABCD a des côtés dont la longueur est de 6 cm. On en conclut que x varie en entre 0 et 6 donc x est dans l'intervalle [0;6].
2) Soit A(x) l'aire de la zone grisée qui est l'addition de l'aire du carré AMNO et NPCQ. On peut alors établir que:
A(x)=A(AMNO)+A(NPCQ)
Comme le carré AMNO est de côté x et NPCQ de côté 6-x donc:
A(x)=x×x+(6-x)(6-x)
A(x)=x²+(6-x)²----->CQFD
3)a) Le problème à résoudre est de trouver x pour A(x)≥20 donc:
A(x)≥20
x²+(6-x)²≥20
x²+36-12x+x²≥20
2x²-12x+36-20≥0
2x²-12x+16≥0----->CQFD
b) Nous allons partir de la partie gauche de l'égalité:
(2x-4)(x-4)
=2x²-8x-4x+16
=2x²-12x+16----->CQFD
c) Pour étudier ce signe, nous allons commencer par résoudre l'équation suivante:
2x²-12+16=0
(2x-4)(x-4)=0
Un produit de facteur est nul si et seulement si l'une des facteurs est nul donc:
si 2x-4=0⇒x=2
si x-4=0⇒x=4
Il devient facile de faire un tableau de signes:
x -∞ 2 4 +∞
2x-4 - 0 + +
x-4 - - 0 +
équation + 0 - 0 +
Par lecture de ce tableau, on déduit que:
- La relation est négative si x ∈ ]2;4[
- La relation est positive si x ∈ ]-∞;2[U]4;+∞[
4) Pour répondre à cette question, il faut résoudre l'inéquation suivante:
A(x)≥20
2x²-12x+16≥0
(2x-4)(x-4)≥0
Il ne faut pas oublier que x∈[0;6] pour cette question. Il suffit alors de lire le tableau de signe de la question 3)c) pour déduire que cette inéquation est vraie si x∈[4;6]
