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résolu

Bonjour je suis en première s et pour la rentrée je dois rendre un dm de maths mais je n'y arrive pas si quelqu'un pouvait m'aider, merci, voici l'exercice :
On se propose de résoudre l'équation (E)
cos x + sin x =racine 2 pour x apartient à [0;/2]

1. (E) admet une "solution évidente". Laquelle?

2. Diviser chaque membre par racine de 2 puis transformer le premier membre de l'équation

3. Poser X = cos x et Y = sin x. En ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par X et Y, former un systeme de deux équations à deux inconnues que l'on résoudra

4. Pour tout réel a, sin(2a)cos(a)
En développant (cos x + sin x)² justifier que sur [0;/2], (E) équivaut à l'équation sin (2x)=1 et résoudre


Répondre :

SCOLADANVIZ
Bonjour,

1) Sur [0;π/2], (E) a pour solution évidente x = π/4 :

cos(π/4) + sin(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2

2) cos(x)/√2 + sin(x)/√2 = 1

3) X/√2 + Y/√2= 1

et X² + Y² = 1

⇒ Y/√2 = 1 - X/√2 ⇔ Y = √2 - X

et X² + (√2 - X)² = 1

⇔ X² + 2 - 2√2X + X² = 1

⇔ 2X² - 2√2X + 1 = 0

Δ = (-2√2)² - 4x2x1 = 8 - 8 = 0

⇒ X = (2√2)/4 = √2/2

soit Y = √2 - X = √2/2

on en déduit :

cos(x) = √2/2
sin(x) = √2/2

⇒ x = π/4 seule solution de (E) sur [0;π/2]

4) (cos(x) + sin(x))² = cos²(x) + 2sin(x)cos(x) + sin²(x) = 1 + 2sin(x)cos(x)

Or pour tout réel a, 2sin(a)cos(a) = sin(2a)

Donc (cos(x) + sin(x))² = 1 + sin(2x)

(E) : cos(x) + sin(x) = √2

⇔ sur [0;π/2] à (cos(x) + sin(x))² = (√2)²  (car cos(x) ≥ 0 et sin(x) ≥ 0 sur [0;π/2])

⇔ 1 + sin(2x) = 2

⇔ sin(2x) = 1


Soit sin(2x) = sin(π/2)

⇒ 2x = π/2 (sur [0;π/2])

⇒ x = π/4
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