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Bonsoir,
Soit 4 points du plan : [tex]A\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right),\; B\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\; C\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\;\text{et}\; D\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)[/tex]
1. Calculer les coordonnées des vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right);\; \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1-(-1)\\ 1-3\end{array}\right);\;\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\-2\end{array}\right)\\\\[/tex]
[tex]\overrightarrow{AD}\left(\begin{array}{c}x_D-x_A\\ y_D-y_A\end{array}\right);\; \overrightarrow{AD}\left(\begin{array}{c}3-(-1)\\4-3\end{array}\right);\;\overrightarrow{AD}\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)\\\\[/tex]
Calculer les coordonnées des points E, F et G tels que : [tex]\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}[/tex], C est le milieu de [AF] et [tex]\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}\\\\ \overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}3\times2\\3\times(-2)\end{array}\right),\;\overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}6\\-6\end{array}\right)\\\\\\\text{Or :}\overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}x_E-x_A\\y_E-y_A\end{array}\right)\\\\\text{Donc : }\\x_E=6+x_A=6+(-1)=5\\y_E=-6+y_A=-6+3=-3\\\\E\left(\begin{array}{c}5\\-3\end{array}\right)[/tex]
C est le milieu de [AF], par conséquent :
[tex]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CF}\\\\\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}x_C-x_A\\y_C-y_A\end{array}\right);\;\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}2-(-1)\\2-3\end{array}\right);\;\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)\\\\\\\overrightarrow{CF}\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)\\\\\overrightarrow{CF}\left(\begin{array}{c}x_F-2=3\\yF-2=-1\end{array}\right)\\\\x_F=3+2=5\\y_F=1+2=1\\\\F\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\\\\ \overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}\dfrac{3}{2}\times4\\\\\dfrac{3}{2}\times1\end{array}\right),\;\overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}6\\1,5\end{array}\right)\\\\\\\text{Or :}\overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}x_G-x_A\\y_G-y_A\end{array}\right)\\\\\text{Donc : }\\x_G=6+x_A=6+(-1)=5\\y_E=1,5+y_A=1,5+3=4,5\\\\G\left(\begin{array}{c}5\\4,5\end{array}\right)[/tex]
E, F, et G possèdent la même abscisse, il sont donc alignés.
Soit 4 points du plan : [tex]A\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right),\; B\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\; C\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)\;\text{et}\; D\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)[/tex]
1. Calculer les coordonnées des vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right);\; \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}1-(-1)\\ 1-3\end{array}\right);\;\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\-2\end{array}\right)\\\\[/tex]
[tex]\overrightarrow{AD}\left(\begin{array}{c}x_D-x_A\\ y_D-y_A\end{array}\right);\; \overrightarrow{AD}\left(\begin{array}{c}3-(-1)\\4-3\end{array}\right);\;\overrightarrow{AD}\left(\begin{array}{c}4\\1\end{array}\right)\\\\[/tex]
Calculer les coordonnées des points E, F et G tels que : [tex]\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}[/tex], C est le milieu de [AF] et [tex]\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}\\\\ \overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}3\times2\\3\times(-2)\end{array}\right),\;\overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}6\\-6\end{array}\right)\\\\\\\text{Or :}\overrightarrow{AE}\left(\begin{array}{c}x_E-x_A\\y_E-y_A\end{array}\right)\\\\\text{Donc : }\\x_E=6+x_A=6+(-1)=5\\y_E=-6+y_A=-6+3=-3\\\\E\left(\begin{array}{c}5\\-3\end{array}\right)[/tex]
C est le milieu de [AF], par conséquent :
[tex]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CF}\\\\\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}x_C-x_A\\y_C-y_A\end{array}\right);\;\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}2-(-1)\\2-3\end{array}\right);\;\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)\\\\\\\overrightarrow{CF}\left(\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right)\\\\\overrightarrow{CF}\left(\begin{array}{c}x_F-2=3\\yF-2=-1\end{array}\right)\\\\x_F=3+2=5\\y_F=1+2=1\\\\F\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\\\\ \overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}\dfrac{3}{2}\times4\\\\\dfrac{3}{2}\times1\end{array}\right),\;\overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}6\\1,5\end{array}\right)\\\\\\\text{Or :}\overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}x_G-x_A\\y_G-y_A\end{array}\right)\\\\\text{Donc : }\\x_G=6+x_A=6+(-1)=5\\y_E=1,5+y_A=1,5+3=4,5\\\\G\left(\begin{array}{c}5\\4,5\end{array}\right)[/tex]
E, F, et G possèdent la même abscisse, il sont donc alignés.
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