Bonjour,
Je remplace "lambda" par la lettre N .
OK ?
1) AN=AO+ON mais ON=OA+OB+OC
AN=AO+OA+OB+OC=OB+OC car
AO+OA=0( vecteur nul)
AN=OB+OC
AN=OA'+A'B+OA'+A'C mais
A'B+A'C=0
AN=2OA'
2)
Ces 2 vecteurs sont colinéaires donc (AN) //
(OA')
Mais (OA') médiatrice relative à (BC) donc (OA')
⊥ (BC).
Donc (AN) ⊥ (BC) et
donc (AN) hauteur issue de A.
3)
BN=BO+ON=BO+OA+OB+OC=OA+OC car
BO+OB=0
BN=OA+OC=OB'+B'A+OB'+B'C=2OB' car B'A+B'C=0
4)
Même raisonnement qu'en 2) pour montrer que (BN) est la hauteur issue de B.
5) Toujours pareil :
CN=CO+ON=CO+OA+OB+OC=OA+OB
CN=OA+OB=OC'+C'A+OC'+C'B=2OC'
Etc.
6)
N est sur les 3 hauteurs de ABC donc est l'orthocentre H du triangle ABC.
Donc ON et OH sont un seul et même vecteur.
7)
On sait, d'après 1-7 que pour tout point M du plan :
3MG=MA+MB+MC
qui donne en remplaçant M par O:
3OG=OA+OB+OC mais OA+OB+OC=ON=OH
donc :
OH=3OG
8)
OH=3OG prouve que ces vecteurs sont colinéaires donc que les points O, G et H sont alignés.
